Korteweg-de Vries ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 januari 2022; kontroller kräver 6 redigeringar .

Korteweg-de Vries-ekvationen ( KdV-ekvation ; även stavat de Vries , de Vries , de Vries , De Vries ; eng. Korteweg–de Vries-ekvationen ) är en icke- linjär tredje ordningens partiell differentialekvation som spelar en viktig roll i teori om olinjära vågor , i huvudsak av hydrodynamiskt ursprung. Den erhölls först av Joseph Boussinesq 1877 [1] , men en detaljerad analys utfördes redan av Diederik Korteweg och Gustav de Vries 1895 [2] .

Ekvationen ser ut så här:

{\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 }}}=0

Beslut

För Korteweg-de Vries ekvation har ett stort antal exakta lösningar hittats, vilka är stationära olinjära vågor. I synnerhet har denna ekvation lösningar av typen soliton av följande form:

u\left(x,t\right)={\frac {2\kappa ^{2}}{\cosh ^{2}\left[\kappa \left(x-4\kappa ^{2} t-x_{0}\right)\right]}}

där är en fri parameter som bestämmer solitonens höjd och bredd, såväl som dess hastighet; är också en godtycklig konstant, beroende på valet av ursprunget för x -axeln . Av särskild betydelse för solitoner är det faktum att varje initial störning, exponentiellt avtagande till oändlighet, utvecklas över tiden till en ändlig uppsättning solitoner separerade i rymden. En exakt sökning efter dessa lösningar kan utföras på ett regelbundet sätt med den omvända spridningsmetoden . $\kappa$ $x_{0}$

Periodiska lösningar av Korteweg-de Vries ekvation har formen av knoidala vågor som beskrivs av elliptiska integraler :

x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2))}du

där c , E är de vågparametrar som bestämmer dess amplitud och period .

Korteweg-de Vries-ekvationen tillåter också självliknande lösningar , som i det allmänna fallet kan erhållas med Bäcklund-transformationer och uttrycks i termer av lösningar till Painlevé-ekvationen .

Integraler av rörelse och Lax representation

Korteweg-de Vries-ekvationen är av stor betydelse för teorin om integrerbara system som ett av de enklaste exemplen på en exakt lösbar olinjär differentialekvation. Integrerbarhet säkerställs genom närvaron av ett oändligt antal rörelseintegraler i ekvationen , med formen

I_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(u,\,\partial _{x}u,\,\partial _{x}^ {2}u,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,

där är polynom av n:e graden i den okända funktionen och dess rumsliga derivator, givna rekursivt enligt följande: $P_{n}$

{\begin{aligned}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1} ^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{aligned}}

De kan erhållas med hjälp av Lax-representationen

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

genom ett par operatörer

{\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+ 3u_{x}.\end{aligned}}

Dessutom kan det visas att Korteweg-de Vries-ekvationen har en bi-Hamiltonsk struktur.

Några första integraler av rörelse:

vikt $\int u\,{\text{d}}x,$
puls $\int u^{2}\,{\text{d}}x,$
energi $\int \left[2u^{3}-\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x.$

Generaliseringar

I närvaro av dissipation förvandlas Korteweg-de Vries-ekvationen till Burgers-Korteweg-de Vries-ekvationen , som har formen

{\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 ))}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}

där parametern kännetecknar mängden förlust. $\nu$

I tvådimensionell geometri är en generalisering av Korteweg-de Vries-ekvationen den så kallade Kadomtsev-Petviashvili-ekvationen , som har formen:

{\frac {\partial }{\partial x))\left({\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}

Anteckningar

↑ Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes (franska) . - 1877. - S. 360. - 680 sid.
↑ DJ Korteweg , G. de Vries . Om förändringen av form av långa vågor som avancerar i en rektangulär kanal, och om en ny typ av långa stationära vågor // Philosophical Magazine . - 1895. - Vol. 39 . - s. 422-443 .

Litteratur

Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P. Integrerbara system. I. - Dynamic Systems - 4, Itogi Nauki i Tekhniki. - M. : VINITI, 1985. - T. 4. - S. 179-284. - (Matematikens moderna problem. Grundläggande riktningar).
Zakharov V. E., Manakov S. V., Novikov S. P., Pitaevskii L. P. Theory of solitons: the inverse problem method. - 1980. - 319 sid.
Korteweg-de Vries ekvation - Encyclopedia of Physics artikel
J. Whitham. 13.11. Korteweg-de Vries och Boussinesq ekvationen // Linjära och olinjära vågor . - Mir, 1977. - S. 443-448. — 622 sid.
Newell A. Solitons i matematik och fysik. - 1989. - 326 sid.

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen