Schrödinger ekvation

Schrödinger-ekvationen är en linjär partiell differentialekvation som beskriver förändringen i rymden (i det allmänna fallet, i konfigurationsrymden ) och i tiden av ett rent tillstånd , givet av vågfunktionen , i Hamiltonska kvantsystem.

Den spelar samma viktiga roll i kvantmekaniken som Hamiltons ekvationer eller Newtons andra lags ekvation i klassisk mekanik eller Maxwells ekvationer för elektromagnetiska vågor.

Formulerad av Erwin Schrödinger 1925 , publicerad 1926 . Schrödinger-ekvationen är inte härledd, utan postulerad i analogi med klassisk optik, baserat på en generalisering av experimentella data [1] .

Schrödinger-ekvationen är avsedd för spinnlösa partiklar som rör sig med hastigheter mycket mindre än ljusets hastighet . När det gäller snabba partiklar och partiklar med spin används dess generaliseringar ( Klein-Gordon- ekvationen , Pauli -ekvationen , Dirac-ekvationen , etc.).

Historik

I början av 1900-talet kom forskare till slutsatsen att det fanns ett antal diskrepanser mellan förutsägelserna från klassisk teori och experimentella data om atomstruktur. Upptäckten av Schrödinger-ekvationen följde de Broglies revolutionerande antagande att inte bara ljus, utan vilken kropp som helst i allmänhet (inklusive eventuella mikropartiklar ) har vågegenskaper .

Historiskt sett föregicks den slutliga formuleringen av Schrödinger-ekvationen av en lång period av fysikutveckling . Ekvationen i sig formulerades av Erwin Schrödinger 1925 , i färd med att förklara, på begäran av Peter Debye , de Broglies idéer om mikropartiklarnas vågnatur för en grupp doktorander vid universitetet i Zürich [2] . Utgiven 1926 [3] .

För upptäckten av denna ekvation fick E. Schrödinger Nobelpriset i fysik 1933 [4] .

Tidsberoende ekvation

Den mest allmänna formen av Schrödinger-ekvationen är formen som involverar tidsberoende [5] [6] :

Tidsberoende ekvation (allmänt fall)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\Psi ={\hat {H))(p,q)\Psi ,$

var är Hamiltonian , är koordinaterna och är momentan. $\hat H$ $q$ ${\displaystyle p_{r}={\frac {\hbar }{i)){\frac {\partial }{\partial q_{r))))$

Ett exempel på en icke-relativistisk Schrödinger-ekvation i koordinatrepresentationen för en punktpartikel med massa som rör sig i ett potentiellt fält med potential : $m$ $V(\vec{r} ,t)$

Ett exempel på en tidsberoende Schrödinger-ekvation

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\Psi ({\vec {r)),t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2)){2m }}\nabla ^{2}+V({\vec {r}},t)\right]\Psi ({\vec {r}},t).$

I det här exemplet är Hamiltonian . $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t)$

Vissa egenskaper

Vågfunktionen , som är en lösning på Schrödinger-ekvationen, och dess första derivator måste vara envärdiga och kontinuerliga i hela rymden. Kontinuiteten hos derivaten betyder fysiskt kontinuiteten för flödestätheten [7] .

Om den potentiella energin inte vänder sig till oändlighet någonstans eller vänder sig till någon gång långsammare än , var är avståndet till denna punkt, då måste vågfunktionen vara ändlig i hela rymden [7] . $U$ $-\infty$ ${\displaystyle -{\frac {1}{r^{2))))$ $r$

Medelvärdena för mekaniska storheter för ett vågpaket , som kan beskrivas med Schrödinger-ekvationen, uppfyller de klassiska Hamilton-ekvationerna ( Ehrenfests sats ) [8] .

Schrödinger-ekvationen är invariant under galileiska transformationer . Ett antal viktiga konsekvenser följer av detta faktum: förekomsten av ett antal kvantmekaniska operatörer associerade med galileiska transformationer; oförmågan att beskriva tillstånd med ett masspektrum eller instabila elementarpartiklar i icke-relativistisk kvantmekanik ( Bargmans teorem ); förekomsten av kvantmekaniska invarianter genererade av den galileiska transformationen [9] .

Schrödinger-ekvationen är mer komplex än Hamilton-ekvationerna i klassisk mekanik. Hamiltons ekvationer är ett system av första ordningens vanliga differentialekvationer , och Schrödinger-ekvationen är en partiell differentialekvation [10] .

Schrödinger-ekvationen är linjär, det vill säga om vågen fungerar och uppfyller Schrödinger-ekvationen, så uppfyller varje linjär kombination av dem den , där och är komplexa tal [11] . Som ett resultat bryts den linjära superpositionen av vågfunktionerna inte av Schrödinger-ekvationen, och en mätoperation är nödvändig för att reducera vågfunktionen. Schrödingeroperatorns linjäritet är en konsekvens och generalisering av superpositionsprincipen , vilket är viktigt för korrekt formulering av begreppet mätoperation [12] . $\psi$ $\Phi$ $\alpha \Psi +\beta \Phi$ $\alfa$ $\beta$

För alla kvantsystem som upptar begränsade områden i rymden existerar lösningar av Schrödinger-ekvationen endast för en räknebar uppsättning energivärden och representerar en räknebar uppsättning vågfunktioner , vars medlemmar är numrerade med en uppsättning kvanttal [7] [13 ] . Vågfunktionen för det normala tillståndet (med lägst energi) försvinner inte (har inga noder) någonstans i rymden. Den normala energinivån kan inte degenereras. Oscillationssats : för endimensionell rörelse försvinner vågfunktionen för det diskreta spektrumet som motsvarar det -t största egenvärdet (för ändliga värden på x-koordinaten) gånger [7] . $E_{{n}}$ $\Psi _{{n}}$ $n$ $\Psi _{0}$ $\Psi _{{n}}$ $(n+1)$ $E_{{n}}$ $n$

Schrödingerekvationen är liksom Hamiltons ekvation en ekvation av första ordningen i tiden. Det är ett matematiskt uttryck för principen om statistisk determinism i kvantmekaniken: ett givet tillstånd i ett system bestämmer dess efterföljande tillstånd inte entydigt, utan endast med en viss sannolikhet specificerad med hjälp av vågfunktionen . $\psi$

Schrödinger-ekvationen är symmetrisk med avseende på båda tidsriktningarna. Denna symmetri uttrycks i dess invarians när tecknet ändras och vågfunktionen samtidigt ersätts av ett komplext konjugat [14] . $t$ $\psi$ $\Psi ^{*}$

Om och är två lösningar av Schrödinger-ekvationen, så förändras inte deras skalära produkt över tiden: . Detta följer av likheten till noll för derivatan av den skalära produkten [15] : $\phi$ $\psi$ $(\mathbf {\phi } ,\mathbf {\psi} )=\mathrm {const}$

{\frac {d}{dt))(\mathbf {\phi } ,\mathbf {\psi } )=(\mathbf {\dot {\phi )) ,\mathbf {\psi} )+( \mathbf {\phi } ,\mathbf {\dot {\psi )) )=(\mathbf {i} {\hat {H))\phi ,\mathbf {\psi} )+(\mathbf {\phi } ,\mathbf {i} {\hat {H}}\psi )=i(\mathbf {\hat {H}} \phi ,\mathbf {\psi} )-i(\mathbf {\phi } ,\mathbf {\hat {H}}\psi )=0

Tillämpningsbegränsningar

Schrödinger-ekvationen kan inte förklara spontan emission , eftersom vågfunktionen av det exciterade tillståndet är den exakta lösningen av den tidsberoende Schrödinger-ekvationen [16] [17] .

Schrödinger-ekvationen kan inte beskriva mätprocessen inom kvantmekaniken, eftersom den är linjär, deterministisk och reversibel i tid, medan mätprocessen är olinjär, stokastisk och irreversibel i tid [18] .

Schrödinger-ekvationen kan inte beskriva processerna för ömsesidiga omvandlingar av elementarpartiklar . Processerna för ömsesidiga transformationer av partiklar beskrivs av relativistisk kvantfältteori.

Formulering

Allmänt fall

Inom kvantfysiken introduceras en komplext värderad funktion som beskriver ett objekts rena tillstånd, vilket kallas vågfunktionen . I den vanligaste Köpenhamnstolkningen är denna funktion relaterad till sannolikheten att hitta ett objekt i ett av de rena tillstånden (kvadraten på modulen för vågfunktionen är sannolikhetstätheten ) [19] [20] . Beteendet hos ett Hamilton-system i rent tillstånd beskrivs fullständigt av vågfunktionen. $\psi$

Efter att ha övergett beskrivningen av en partikels rörelse med hjälp av banor som erhållits från dynamikens lagar och istället bestämt vågfunktionen, är det nödvändigt att ta hänsyn till en ekvation som är ekvivalent med Newtons lagar och ger ett recept för hitta i synnerhet fysiska problem. En sådan ekvation är Schrödinger-ekvationen. $\psi$

Låt vågfunktionen ges i det n-dimensionella konfigurationsutrymmet , då kommer det att se ut vid varje punkt med koordinater vid en viss tidpunkt . I det här fallet kommer Schrödinger-ekvationen att skrivas som: $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ $t$ $\Psi \left({\vec {r)),t\right)$

-{{\hbar }^{2} \over 2m}{\Delta }\Psi ({\vec {r)),t)+V({\vec {r)),t)\Psi ( {\vec {r)),t)=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi ({\vec {r)),t),\qquad (1)

där , är Plancks konstant ; är partikelns massa, är den potentiella energin utanför partikeln vid tidpunkten , är Laplace-operatorn (eller Laplacian), motsvarar kvadraten på nabla-operatorn och har i det n-dimensionella koordinatsystemet formen : $\hbar = {h \över 2 \pi}$ $h$ $m$ $V({\vec {r)),t)$ $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ $t$ $\Delta$

\Delta \equiv {\nabla}^{\,2} \! = {{\partial}^2 \over \partial {x}_1^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_2^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_3^2} + \ldots + {{\partial}^2 \over \partial {x}_n^2}.

Fallet med tredimensionellt utrymme

I det tredimensionella fallet är psi-funktionen en funktion av tre koordinater, och i det kartesiska koordinatsystemet ersätts den med uttrycket $\Delta \Psi$

\Delta \Psi ={{\partial }^{2}\Psi \over \partial {x}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {y} ^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {z}^{2}},

då kommer Schrödinger-ekvationen att ta formen:

-{{\hbar }^{2} \over 2m}\left({{\partial }^{2}\Psi \over \partial {x}^{2}}+{{\partial }^ {2}\Psi \over \partial {y}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {z}^{2}}\right)+V(x,y ,z,t)\Psi =i\hbar {\partial \Psi \over \partial t},

där , är Plancks konstant ; är partikelns massa, är den potentiella energin vid tidpunkten t . $\hbar = {h \över 2 \pi}$ $h$ $m$ $V(x,y,z,t)$ $(x,y,z)$

Stationär Schrödinger-ekvation

Formen för Schrödinger-ekvationen visar att dess lösning med hänsyn till tid bör vara enkel, eftersom tiden endast kommer in i denna ekvation genom förstaderivatan på höger sida. En speciell lösning för fallet när det inte är en funktion av tiden kan faktiskt skrivas som: $V$

\Psi ({\vec {r}},t)=\psi ({\vec {r}}\,){e}^{-iEt/\hbar },\qquad (2)

där funktionen måste uppfylla ekvationen: $\psi ({\vec {r}}\,)$

-{{\hbar }^{2} \over 2m}\Delta \psi ({\vec {r)))+V({\vec {r)))\psi ({\vec {r} })=E\psi ({\vec {r))),\qquad (3)

som erhålls från Schrödinger-ekvationen (1) genom att ersätta formeln ovan för (2) i den . Observera att denna ekvation inte innehåller tid alls; i detta avseende kallas den för den stationära Schrödinger-ekvationen (Schrödinger-ekvationen som inte innehåller tid) . $\psi$

Uttryck (2) är bara en speciell lösning av den tidsberoende Schrödinger-ekvationen (1) , den allmänna lösningen är en linjär kombination av alla specifika lösningar av formen (2) . Funktionens beroende av tid är enkelt, men dess beroende av koordinaten har inte alltid en elementär form, eftersom ekvation (3) med ett val av formen för den potentiella funktionen är helt annorlunda än samma ekvation med ett annat val av denna funktion. Faktum är att ekvation (3) bara kan lösas analytiskt för ett litet antal speciella typer av funktionen . $\Psi ({\vec {r)),t)$ $V({\vec {r)))$ $V({\vec {r)))$

Schrödinger-ekvationen i invariant form

Låt den klassiska kinetiska energin i ett dynamiskt system ha formen . Storheterna kan betraktas som komponenter i en metrisk tensor i utrymmet för mätningar. I rektangulära kartesiska koordinater är dessa bara partikelmassorna, och är de reciproka massorna. $T=\sum _{j,j}^{n}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}$ $a_{{ij}}$ $n$ $a_{{ij}}$ $a^{ij}$

Schrödinger-ekvationen i den invarianta formen har formen:

$\sum _{k,j}\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{\sqrt {a}}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}} }\left({\sqrt {a}}a^{kj}{\frac {\partial }{\partial q^{j}}}\right)+V\right]\Psi +{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=0$

Här är matrisens determinant . $a$ $a_{{ij}}$

Metoder för att lösa Schrödinger-ekvationen

Analytisk metod. Lösningen söks i form av ett exakt matematiskt uttryck. Denna metod är endast tillämpbar i ett fåtal enkla fall (enkelelektronatomer, linjär oscillator, potentialbrunn med oändligt höga väggar, etc.) [22] .

Störningsmetod . Hamilton-operatören betraktas som summan av två termer. En av dem anses vara en oberörd operatör med en exakt analytisk lösning. Den andra termen anses vara ett litet störande tillägg till det. Med en stationär störning består lösningen i att expandera egenvärdena och egenfunktionerna i en serie i potenser av en liten störningskonstant och hitta en ungefärlig lösning på det erhållna ekvationssystemet [23] . Vid en icke-stationär störning eftersträvas vågfunktionen i form av en linjär kombination av egenvågsfunktioner med tidsberoende koefficienter [24] .
Ritz-metoden . Den används för att lösa den stationära Schrödinger-ekvationen. Extremvärdena för systemets genomsnittliga totala energi bestäms genom att variera parametrarna för någon testfunktion [25] .
Hartree-Fock-metoden .
WKB-metoden .

Övergång till klassisk mekanik

Schrödinger-ekvationen som beskriver ett mikroobjekts rörelse i ett potentiellt fält : $U({\vec {r)))$

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +U({ \vec {r)))\psi

Vågfunktionen för en mikropartikel vid kan representeras som . På grund av identiteterna kan Schrödinger-ekvationen i detta fall också skrivas i formen: . $\hbar \rightarrow 0$ ${\displaystyle \psi ({\vec {r)),t)=Ae^({\frac {i}{\hbar }}S({\vec {r}},t)))$ $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=-{\frac {\partial S}{\partial t))\psi$ $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =\left[{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2} -{\frac {i\hbar }{2m}}\Delta S\right]\psi$ ${\frac {\partial S}{\partial t))+{\frac {1}{2m))(\nabla S)^{2}+U({\vec {r)))-{ \frac {i\hbar }{2m}}\Delta S=0$

I det här fallet blir denna ekvation Hamilton-Jacobis ekvation för klassisk mekanik: $\hbar \rightarrow 0$

{\frac {\partial S}{\partial t))+{\frac {1}{2m))(\nabla S)^{2}+U({\vec {r)))=0

Förekomsten av en gränsövergång från Schrödinger-ekvationen till Hamilton-Jacobi-ekvationen ger anledning att betrakta Newtons mekanik som ett begränsningsfall av en mer generell kvantmekanik, lämplig för att beskriva både mikroskopiska och makroskopiska objekt ( överensstämmelseprincipen ).

Analogier och samband med andra ekvationer

Maxwells ekvationer för elektromagnetiska vågor i tomma rymden

\left\{{\begin{aligned}-c\cdot \operatorname {rot} E&={\frac {\partial H}{\partial t)),\\c\cdot \operatorname {rot} H& ={\frac {\partial E}{\partial t}}\end{aligned}}\right.

kan omvandlas till en enda ekvation genom att introducera en ny komplex storhet , liknande vågfunktionen i Schrödinger-ekvationen $\Psi =E+iH$

i{\frac {\partial \Psi }{\partial t))=c\cdot \operatörsnamn {rot} \Psi ,

liknande Schrödinger-ekvationen [27] .

Schrödinger-ekvationen liknar ekvationerna för värmeledning och diffusion i klassisk fysik genom att den är en ekvation av första ordningen i tid och skiljer sig från dem i närvaro av en imaginär koefficient före . Tack vare den kan den också ha periodiska lösningar [28] . ${\frac {\partial \Psi }{\partial t))$

Schrödingers ekvation kan härledas från principen om minsta verkan genom att behandla som Eulers ekvation

{\frac {\partial L}{\partial \psi }}-\summa _{{k=0}}^{{3}}{\frac {\partial }{\partial x_{{k}}}} {\frac {\partial L}{\partial \left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{{k))))\right)))=0

något variationsproblem där densiteten hos lagrangian har formen [29] [30] :

L=i\hbar \psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t))-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\nabla \psi ^ {*}\nabla \psi -U(r,t)\psi ^{*}\psi -i\hbar {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi ={\ frac {i\hbar }{2}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\ partiell t}}\psi \right)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla \psi ^{*}\cdot \nabla \psi )-U(r,t)\psi ^{*}\psi

Dirac-ekvationen kan skrivas som Schrödinger-ekvationen:

i\hbar {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial t}}=mc^{2}\psi _{1}+c({\hat {p_{x}}} -i{\hat {p_{y}}}})\psi _{4}+c{\hat {p_{z}}}\psi _{3}

i\hbar {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial t}}=mc^{2}\psi _{2}+c({\hat {p_{x}}} +i{\hat {p_{y}}}})\psi _{3}-c{\hat {p_{z}}}\psi _{4}

i\hbar {\frac {\partial \psi _{3}}{\partial t}}=-mc^{2}\psi _{3}+c({\hat {p_{x}} }-i{\hat {p_{y}}}})\psi _{2}+c{\hat {p_{z}}}\psi _{1}

i\hbar {\frac {\partial \psi _{4}}{\partial t}}=-mc^{2}\psi _{4}+c({\hat {p_{x}} }+i{\hat {p_{y}}}})\psi _{1}-c{\hat {p_{z}}}\psi _{2}

Här: , , ${\hat {p_{x))}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x))$ ${\hat {p_{y))}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y))$ ${\hat {p_{z))}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z))$

I vissa fall kan lösningen av den stationära Schrödinger-ekvationen med WKB-metoden sökas i formen , och åtgärden uppfyller Hamilton-Jacobi-ekvationen . Expandera funktionen till en serie i potenser av parametern : , man får den stationära Hamilton-Jacobi-ekvationen i nollapproximationen och korrigeringar av olika ordningsföljder i nästa approximation [31] . ${\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}S(r))))$ $S$ ${\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+{\frac {i\hbar }{2m}}\Delta S+V(r)=E$ $S$ $i\hbar$ $S=S^{0}+i\hbar S'+...$ ${\displaystyle S^{0))$

Vägledande tankar

Vågekvation för de Broglie-vågor

Schrödinger-ekvationen kan komma fram till genom att generalisera vågekvationen till fallet med De Broglie-vågor : [32]

$\Delta \varphi ={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi}{\partial t^{2}}}$

där är Laplace-operatorn , är vågfunktionen , som har egenskaperna hos en de Broglie-våg, är tiden, är den rumsliga koordinaten, är fashastigheten . $\Delta$ $\varphi =\varphi ({\vec {r)),t)$ $t$ ${\vec {r))$ $v$

Om vågfunktionen är monokromatisk kan lösningen på denna ekvation representeras som

$\varphi ({\vec {r)),t)=e^{-i\omega t}\Psi ({\vec {r)))$

var är den cirkulära frekvensen . $\omega$

Ekvationen för den rumsliga delen av vågfunktionen är: $\psi ({\vec {r)))$

$\Delta \Psi ({\vec {r)))=-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\Psi ({\vec {r}})$

Låt oss använda uttrycket för våglängden:

$\lambda ={\frac {2\pi v}{\omega }}$

Ekvationen för den rumsliga delen av vågfunktionen har formen:

$\Delta \Psi ({\vec {r)))=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\Psi ({\vec {r}})$

Med hänsyn till uttrycket för de Broglie-våglängden :

$\lambda ={\frac {2\pi \hbar }{p}}$

och lagen om energibevarande :

${\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})=E$

där är partikelns rörelsemängd, är Plancks konstant , är partikelns massa, är partikelns potentiella energi , är partikelns totala energi. $sid$ $\hbar$ $m$ $V({\vec {r)))$ $E$

Vi får:

${\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(EV({\vec {r}} ))$

Som ett resultat har vi den stationära Schrödinger-ekvationen:

$\Delta \Psi ({\vec {r)))+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(EV({\vec {r))))\Psi ({\vec {r}})=0$

För att övergå till den icke-stationära Schrödinger-ekvationen, representerar vi den stationära Schrödinger-ekvationen i formen:

$E\Psi (t)+({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta -V)\Psi (t)=0$

var . $\Psi (t)=\Psi e^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}$

Med hjälp av jämlikheten

$-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \Psi (t)}{\partial t}}=E\Psi (t)$

vi kommer fram till den icke-stationära Schrödinger-ekvationen:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r} ,t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec {r},t)\right ] \Psi(\vec{r} ,t)$

Time shift-operatör

Inom kvantmekaniken kan tidsderivatan av vågfunktionen ses som en tidsförskjutningsoperator. I analogi med klassisk mekanik och förhållandet mellan energi och tid kan vi anta att dess roll alltid spelas av Hamiltonian . Detta innebär omedelbart Schrödinger-ekvationen [33] [34] .

Överensstämmelse mellan klassisk mekanik och geometrisk optik

Schrödinger-ekvationen kan komma fram till utifrån överensstämmelsen mellan klassisk mekanik och geometrisk optik. Begreppen materialpunkt, bana, hastighet, potentiell energi, energi, Maupertuis variationsprincip inom klassisk mekanik motsvarar begreppen ett vågpaket, stråle, grupphastighet, fashastighet (brytningsindex), frekvens, Fermats variationsprincip i geometrisk optik [35] .

Maupertuis variationsprincip i klassisk mekanik

\int {\sqrt {EV}}ds=\min \qquad

(ett)

motsvarar Fermats variationsprincip inom optik

\int {\frac {ds}{v}}=\min .\qquad

(2)

Här är den totala energin, är den potentiella energin och är fashastigheten. En bana i klassisk mekanik motsvarar en ljusstråle i optik if $E$ $V$ $v$

{\frac {1}{v(\omega ,x)}}=f(\omega ){\sqrt {E(\omega )-V(x))).\qquad

(3)

Vågpaketet kan representeras som

{\displaystyle \sum _{\omega }a_{\omega }\cos {2\pi \omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )))\right)))

För paketets maximum, jämlikheten

{\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )))\right)\right\}=0

Av denna jämlikhet följer att . I klassisk mekanik motsvarar detta jämlikheten . Från dessa två uttryck erhålls en formel för grupphastigheten [36] : $t=x{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)$ $t=\frac{x}{V_{g}}$

V_{g}=\left[{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega}{v}}\right)\right]^{-1}.\ qquad

(fyra)

Då kan villkoret för likhet mellan materialpunktens hastighet och grupphastigheten för vågpaketet skrivas som [37] :

{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega}{v}}\right)={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {E(\omega )-V(x)}}}.\qquad

(5)

Härifrån, med hjälp av (3), får vi:

{\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {EV}}}={\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega f(\omega ){\sqrt {EV}}\right\}={\frac {d(\omega f(\omega ))}{d\omega }}{\sqrt {EV}}+{\frac { \omega f(\omega )}{2{\sqrt {EV)))){\frac {dE}{d\omega ))

Jämför vi koefficienterna vid samma potenser finner vi $\sqrt{EV}$

{\frac {d}{d\omega }}(\omega f(\omega ))=0,\qquad {\sqrt {\frac {m}{2}}}={\frac {\omega f(\omega )}{2}}{\frac {dE}{d\omega }}.

Den första av dem ger , sedan innebär den andra , , . Vågens fashastighet beror på frekvensen : $\omega f(\omega )=\mathrm {konst}$ $\frac{dE}{d\omega} = konst$ $E=\hbar \omega$ $f(\omega)=\frac{\sqrt{2m)){\hbar \omega}$ $v$ $\omega$

v={\frac {\hbar \omega }{\sqrt {2m))}{\frac {1}{\sqrt {\hbar \omega -V))}.\qquad

(6)

En monokromatisk våg med fashastighet uppfyller ekvationen $v$

\nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}= 0.\qquad

(7)

En speciell lösning på denna ekvation har formen:

\Psi =ue^{-i\omega t}=ue^{-{\frac {i}{\hbar }}Et},\qquad

(åtta)

var är vågens frekvens. Genom att ersätta lösning (8) i ekvation (7) får vi: $\omega$

\nabla ^{2}u+{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}u=0.\qquad

(9)

Genom att ersätta (6) med (9) får vi:

\nabla ^{2}u+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(\hbar \omega -V)u=0.\qquad

(tio)

Från ekvation (8) får vi:

\omega u=-{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t)).\qquad

(elva)

Genom att ersätta (11) i (10) får vi den tidsberoende Schrödinger-ekvationen (12) [38] :

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\ höger]\Psi .\qquad

(12)

Generaliseringar

Schrödingers ekvation i ett elektromagnetiskt fält

En icke-relativistisk spinnlös partikel i ett elektromagnetiskt fält som definieras av potentialerna och beskriver Schrödinger-ekvationen i ett magnetfält (det elektriska fältets potential är skalär och går in som en vanlig term ): $\varphi$ $\mathbf {A}$ $V$

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\Psi =\left[{\frac {1}{2m))({\hat {\mathbf {p} ))-{\ frac {e}{c}}\mathbf {A} )^{2}+e\varphi \right]\Psi .

Här är momentumoperatorn . Denna ekvation är skriven i det gaussiska enhetssystemet . I SI- systemet är koefficienten vid lika med inte , men . ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$ $\mathbf {A}$ ${\frac {e}{c))$ $e$

Icke-linjär Schrödinger-ekvation

Den olinjära Schrödinger-ekvationen har formen:

i{\frac {\partial u}{\partial t))+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+\nu |u|^{2 }u=0,

var är en komplext värderad funktion . $u(x, t)$

Det används i beskrivningen av olinjära kvantmekaniska fenomen.

Kvantfältteori

Inom kvantfältteorin, när man studerar relativistiska processer med förintelse och skapande av elementarpartiklar, är en generalisering av Schrödinger-ekvationen i variationsderivat känd:

i{\frac {\delta \Phi (g)}{\delta g(x)))=H(x;g)\Phi (g).

Här är tillståndsamplituden , är interaktionsintensiteten, är densiteten för den generaliserade Hamiltonfunktionen och är spridningsmatrisen [39] . $\Phi (g)$ $g$ $H(x,g)=i{\frac {\delta S(g)}{\delta g(x)))S^{+}(g)$ $S(g)$

Denna ekvation kan skrivas om i form av Schwinger-Tomonaga funktionella differentialekvation :

i{\frac {\delta \Phi (\sigma )}{\delta \sigma (x)))=H(x,\sigma )\Phi (\sigma ),

var finns en rymdliknande yta i Minkowski-rymden [40] . $\sigma (x)$

Se även

vågfunktion
Endimensionell stationär Schrödinger-ekvation
Dirac ekvation
Paulis ekvation
Lindblads ekvation
Von Neumanns ekvation
Heisenbergs ekvation
Jost funktioner
Schrödingergruppen
Schwinger-Tomonaga ekvation
Schrödinger-operatör
Icke-linjär Schrödinger-ekvation
Funktioner av spridningstransformationen för den tvådimensionella Schrödinger-ekvationen

Anteckningar

↑ Prigozhin, 2006 , sid. 74.
↑ Kapitsa P. L. Några principer för kreativ uppfostran och utbildning av modern ungdom // Experiment, teori, praktik. - M., Nauka, 1981. - sid. 257.
↑ Kuznetsov B. G. Grundläggande idéer om kvantmekanik // otv. ed. Grigoryan A. T. , Polak L. S. Uppsatser om utvecklingen av grundläggande fysiska idéer. - M., USSR Academy of Sciences, 1959. - S. 390-421;
↑ Nobelpriset i fysik 1933 Erwin Schrödinger . Hämtad 26 oktober 2019. Arkiverad från originalet 18 juli 2020. (obestämd)
↑ Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics (neopr.) . — 2:a. - Springer Science + Business Media / Springer Science + Business Media , 1994. - P. 143. - ISBN 978-0-306-44790-7 .
↑ Mott, 1966 , sid. 52.
↑ 1 2 3 4 Landau L. D. , Livshits E. M. Quantum mechanics. - M., Nauka, 1972. - sid. 78 - 82
↑ Pauli, 1947 , sid. 47.
↑ Kaempfer, 1967 , sid. 390.
↑ Shirokov, 1972 , sid. 24.
↑ Penrose, 2003 , sid. 234.
↑ Pauli, 1947 , sid. 43.
↑ Shirkov, 1980 , sid. 464.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Quantum mechanics. - M., Nauka, 1972. - sid. 83
↑ G. Lyubarsky, Teori om grupper och fysik. - M., Nauka, 1986. - sid. 123
↑ Wigner, 1961 , sid. 67.
↑ Migdal, 1966 , sid. 49.
↑ Wigner, 2002 , sid. 145.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). - 6:e upplagan, reviderad. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 800 s. - ("Teoretisk fysik", volym III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
↑ V. A. Fok. Början av kvantmekaniken. - L .: Kubuch, 1932; 2:a uppl. — M.: Nauka, 1976.
↑ Mott N. , Sneddon I. Vågmekanik och dess tillämpningar. - M., Nauka, 1966. - sid. 77-78
↑ Fermi, 1968 , sid. 28.
↑ Fermi, 1968 , sid. 191.
↑ Fermi, 1968 , sid. 211.
↑ Gribov, 1999 , sid. 234.
↑ Zhirnov N. I. Klassisk mekanik. — Serie: lärobok för studerande vid fysik- och matematiska fakulteter vid pedagogiska institut. - M., Upplysning , 1980. - Upplaga 28 000 ex. - Med. 212-213
↑ Mott, 1966 , sid. 21.
↑ Blokhintsev, 1963 , sid. 115.
↑ Kushnirenko, 1971 , sid. 38.
↑ J. Ziman modern kvantteori. - M., Mir, 1971. - sid. trettio
↑ Grechko L. G., Sugakov V. I., Tomasevich O. F. Samling av problem i teoretisk fysik. - M., Högre skola, 1972. - sid. 58
↑ Sokolov A. A. , Ternov I. M. Kvantmekanik och atomfysik. - M., Utbildning, 1970. - 39-40, 52
↑ P. A. M. Dirac Principer för kvantmekanik. - M., Nauka, 1960. - sid. 148-152
↑ Kuznetsov B. G. Grundläggande idéer om kvantmekanik // otv. ed. Grigoryan A. T. , Polak L. S. Uppsatser om utvecklingen av grundläggande fysiska idéer. - M., USSR Academy of Sciences , 1959. - Upplaga 5000 exemplar. - Med. 403, 411, 412;
↑ Fermi, 1968 , sid. femton.
↑ Fermi, 1968 , sid. 17.
↑ Fermi, 1968 , sid. 19.
↑ Fermi, 1968 , sid. 21.
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Introduktion till teorin om kvantiserade fält. - M., GITTL, 1957. - sid. 396-397
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Introduktion till teorin om kvantiserade fält. - M., GITTL, 1957. - sid. 399-401

Länkar

Sfäriskt symmetriska tillstånd för en elektron i en väteatom

Litteratur

Schrödinger E. Utvalda verk om kvantmekanik. Moskva: Nauka, 1976.
Berezin F. A., Shubin M. A. The Schrödinger Equation.— M. : Publishing House of Moscow State University.— 1983.— 392 sid.
Kaempfer F. Grunderna i kvantmekaniken. — M .: Mir, 1967. — 391 sid.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). - 6:e upplagan, reviderad. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Fock V. A. Kvantmekanikens principer . - L .: Kubuch, 1932; 2:a uppl. — M.: Nauka, 1976.
Pauli V. Allmänna principer för vågmekanik. - M. : OGIZ, 1947. - 330 sid.
Prigogine Ilya . Från existerande till framväxande: tid och komplexitet inom de fysiska vetenskaperna. - M . : KomKniga, 2006. - 296 sid. — ISBN 5-484-00313-X .
Penrose Roger . " Kungens nya sinne ": Om datorer, tänkande och fysikens lagar. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 384 sid. — ISBN 5-354-00005-X .
Kushnirenko AN Introduktion till kvantfältteori. - M . : Högre skola, 1971. - 304 sid.
Shirokov Yu. M. , Yudin N. P. Kärnfysik. - M. : Nauka, 1972. - 670 sid.
Mott N. , Sneddon I. Vågmekanik och dess tillämpningar. - M. : Nauka, 1966. - 428 sid.
Blokhintsev D. I. Grunderna i kvantmekaniken. — M .: Nauka, 1963. — 619 sid.
ed. Shirkov DV Mikrokosmos fysik. - M . : Soviet Encyclopedia, 1980. - 528 sid.
Wigner E. Teori om grupper. - M. : IL, 1961. - 444 sid.
Migdal A. B. , Krainov, V. P. Ungefärliga metoder för kvantmekanik. — M .: Nauka, 1966. — 152 sid.
Fermi E. Kvantmekanik. — M .: Mir, 1968. — 367 sid.
Wigner Eugen Paul . Invarians och bevarandelagar. Studier om symmetri. - M. : Redaktionell URSS, 2002. - 320 sid. — ISBN 5-354-00191-9 .
Gribov L. A., Mushtakova S. P. kvantkemi. - M . : Gardariki, 1999. - 390 sid. - ISBN 5-8297-0017-4 .

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 119702345 GND : 4053332-3 J9U : 987007560881205171 LCCN : sh85118495 NKC : ph195849