Sine-Gordons ekvation

Sinus - Gordon-ekvationen är en icke-linjär hyperbolisk partiell differentialekvation i 1 + 1 dimensioner, inklusive d'Alembert-operatorn och sinus för en okänd funktion. Ursprungligen ansågs det på 1800-talet i samband med studiet av ytor med konstant negativ krökning . Denna ekvation fick mycket uppmärksamhet på 1970-talet på grund av dess solitonlösningar .

Ekvationens ursprung och dess namn

Det finns två ekvivalenta former av sinus-Gordon-ekvationen. I ( real ) rum-tid-koordinater, betecknade ( x , t ), är ekvationen

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0.

Vid övergång till ljuskonkoordinater ( u , v ) nära de asymptotiska koordinaterna , där

u={\frac {x+t}{2)),\quad v={\frac {xt}{2)),

ekvationen blir

\varphi _{uv}=\sin \varphi .

Detta är den ursprungliga formen av sinus-Gordon-ekvationen där den övervägdes på 1800-talet i samband med studiet av ytor med konstant Gaussisk krökning K = −1, även kallade pseudosfärer . Vi väljer ett koordinatsystem där koordinatnätet u = const, v = const ges av asymptotiska linjer parametriserade av båglängden. Den första kvadratiska formen av den givna ytan i sådana koordinater har en speciell form:

ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},

där φ är vinkeln mellan de asymptotiska linjerna, och för den andra andragradsformen , L = N = 0. Sedan leder Peterson-Codazzi-ekvationen , som återspeglar kompatibilitetsvillkoret mellan den första och andra andragradsformen, till sinus-Gordon-ekvationen. Studiet av denna ekvation och motsvarande pseudosfäromvandlingar på 1800-talet av Bianchi och Bäcklund ledde till upptäckten av Bäcklunds transformationer .

Namnet "sine-Gordon ekvation" är en ordlek på den välkända Klein-Gordon ekvationen i fysik :

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.

Sinus-Gordon- ekvationen är Euler-Lagrange-ekvationen för Lagrangian

{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi ):={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .

Använder Taylor-seriens expansion av cosinus

\cos(\varphi )=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}

i en given Lagrangian kan den skrivas som Klein-Gordon Lagrangian plus termer av högre ordning

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^ {2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\summa _{n=2}^{\infty }{\frac {( -\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}=\\&=2{\mathcal {L}}_{\text{Klein–Gordon}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}

Solitons

En intressant egenskap hos sinus-Gordon-ekvationen är förekomsten av soliton- och multisolitonlösningar.

En-solitonlösning

Sinus-Gordon-ekvationen har följande en-solitonlösningar:

\varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan e^{m\gamma (x-vt)+\delta },

var

\gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}}.

En-solitonlösningen, för vilken vi har valt en positiv rot för , kallas en kink och representerar en slinga över variabeln , som tar en lösning till en intilliggande . Tillstånden är kända som vakuumtillstånd , eftersom de är konstanta nollenergilösningar. En-solitonlösningen som vi har slagit negativ rot för kallas antikink . Formen av en-solitonlösningar kan erhållas genom att tillämpa Bäcklund-transformationen på den triviala (konstant vakuum) lösningen och integrera de resulterande första ordningens differentialekvationer: $\gamma$ $\varphi$ $\varphi=0$ $\varphi=2\pi$ $\varphi =0{\pmod {2\pi ))$ $\gamma$

\varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2)),

\varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2)),\quad \varphi =\varphi _{0}=0.

En-soliton-lösningar kan visualiseras med sinus-gordon elastiska bandmodellen [1] . Låt oss ta en medurs ( vänstervänd ) spole av ett elastiskt band som en kink med en topologisk laddning . Ett alternativ moturs ( högerhänt ) sväng med topologisk laddning skulle vara en antikink. $\vartheta _{\textrm {K}}=-1$ $\vartheta _{\textrm {AK}}=+1$

Två-soliton-lösningar

Multi-soliton-lösningar kan erhållas genom att kontinuerligt applicera Bäcklund-transformationen på en-soliton-lösningen som föreskrivs av Bianchi-gittret motsvarande resultaten av transformationen [2] . 2-solitonlösningar av sinus-Gordon-ekvationen uppvisar några karakteristiska egenskaper för solitoner. Resande sinus-Gordon kinks och/eller antikinks passerar genom varandra som helt genomsläppliga, och den enda observerade effekten är en fasförskjutning . Eftersom kolliderande solitoner behåller sin hastighet och form kallas denna typ av interaktion elastisk kollision .

Andra intressanta två-solitonlösningar härrör från möjligheten till kopplat kink-anti-kink-beteende som kallas andningsluft . Tre typer av andningsventiler är kända: en stående andningsventil , en löpande andningsluftare med hög amplitud och en andningsventil med låg amplitud som löper [3] .

Tre-solitonlösningar

Tre-solitonkollisioner mellan en resande kink och en stående andning eller en resande antikink och en stående andning resulterar i en fasförskjutning av den stående andningen. Under en kollision mellan en rörlig kink och en stående andning, ges förskjutningen av den senare av relationen $\Delta _{\textrm {B}}$

\Delta _{B}={\frac {2\operatörsnamn {arctanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K))^{2}) ))}{\sqrt {1-\omega ^{2))))),

var är kinkhastigheten och är andningsfrekvensen [3] . Om koordinaten för den stående andningen före kollisionen är , så blir den efter kollisionen . $v_{{\text{K}}}$ $\omega$ $x_{0}$ $x_{0}+\Delta _{{\text{B}}}$

Relaterade ekvationer

Shinus-Gordons ekvation :

\varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .

Dessa är Euler-Lagrange-ekvationerna för Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .

En annan nära besläktad med sinus-Gordon-ekvationen är den elliptiska sinus-Gordon-ekvationen :

\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,

där är en funktion av variablerna x och y . Detta är inte längre en soliton-ekvation, men den har många liknande egenskaper, eftersom den är relaterad till sinus-Gordon-ekvationen genom den analytiska fortsättningen (eller Wick-rotationen ) y = it . $\varphi$

Den elliptiska shinus-Gordon-ekvationen kan definieras på ett liknande sätt. En generalisering ges av Toda-fältteorin .

Quantum Version

Inom kvantfältteorin innehåller sinus-Gordon-modellen en parameter som kan identifieras med Plancks konstant. Partikelspektrumet består av en soliton, en antisoliton och ett ändligt (eventuellt noll) antal andningshål. Antalet avluftningar beror på denna parameter. Flera födslar av partiklar tar ut på rörelseekvationerna.

Den semiklassiska kvantiseringen av sinus-Gordon-modellen utfördes av Ludwig Faddeev och Vladimir Korepin [4] . Den exakta kvantspridningsmatrisen upptäcktes av Alexander och Alexei Zamolodchikov [5] . Denna modell är dubbel till Thirring -modellen .

I en ändlig volym och på en stråle

Tänk också på sinus-Gordon-modellen på en cirkel, ett rakt linjesegment eller en stråle. Det är möjligt att välja randvillkor som bevarar integrerbarheten för den givna modellen. På strålen innehåller spektrumet av partiklar gränstillstånd förutom solitoner och andningsluft.

Supersymmetrisk sinus-Gordon-modell

En supersymmetrisk analog till sinus-Gordon-modellen finns också. Med samma framgång kan integrerbarhetsbevarande gränsvillkor hittas för det.

Anteckningar

↑ Dodd RK, Eilbeck JC, Gibbon JD, Morris HC Solitons och icke-linjära vågekvationer . Academic Press, London, 1982.
↑ Rogers C., Schief W.K. Bäcklund och Darboux Transformations . New York: Cambridge University Press, 2002.
↑ 1 2 Miroshnichenko A., Vasiliev A., Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions Arkiverade 22 augusti 2010 på Wayback Machine .
↑ Faddeev L. D., Korepin V. E. Quantum theory of solitons (engelska) // Physics Reports. - 1978. - Vol. 42 , iss. 1 . - S. 1-87 . - doi : 10.1016/0370-1573(78)90058-3 .
↑ Zamolodchikov A. B., Zamolodchikov A. B. Faktoriserade S -matriser i två dimensioner som de exakta lösningarna för vissa relativistiska kvantfältteorimodeller // Annaler av fysik. — 1979-08-01. — Vol. 120 , iss. 2 . - S. 253-291 . - doi : 10.1016/0003-4916(79)90391-9 .

Länkar

Polyanin AD, Zaitsev VF Handbok för icke-linjära partiella differentialekvationer . Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.
Rajaraman R. Solitoner och instantoner . North-Holland Personal Library, 1989.