Leibniz formel (derivat av en produkt)

Leibniz -formeln för den -e derivatan av en produkt av två funktioner är en generalisering av regeln för att differentiera en produkt (och ett förhållande) av två funktioner till fallet med -faldig differentiering. $n$ $n$

Låt funktionerna och vara tider differentierbara funktioner då $F Z)$ $g(z)$ $n$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\summa \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

var finns binomialkoefficienter .

C_{n}^{k}={n \choose k}={{n!} \över {k!\;(nk)!}}

Exempel

När , den välkända regeln för derivatet av en produkt erhålls: $n=1$

(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.

I fallet har vi till exempel: $n=2$

(f\cdot g)''=\summa \limits _{{k=0}}^{{2}}{C_{2}^{k}f^{{(2-k)}}g^{ {(k)}}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.

I fallet har vi till exempel: $n=3$

(f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k )}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.

I fallet har vi till exempel: $n=4$

(f\cdot g)^{(4)}=\summa \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^ {(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)} }+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.

Bevis och generalisering

Beviset av formeln utförs genom induktion med hjälp av produktregeln . I en multiindexnotation kan formeln skrivas i en mer allmän form:

\partial ^{\alpha }(fg)=\summa _({\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{{\ alfa -\beta }}f)(\partial ^{{\beta }}g).

Denna formel kan användas för att få ett uttryck för sammansättningen av differentialoperatorer. Låt P och Q vara differentialoperatorer (med koefficienter som är differentierbara ett tillräckligt antal gånger) och . Om R också är en differentialoperator, gäller likheten: $R=P\cirkel Q$

R(x,\xi )=e^{{-{\langle x,\xi \rangle }}}R(e^{{\langle x,\xi \rangle }}).

Direkt beräkning ger:

R(x,\xi )=\summa _{\alpha }{1 \över \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi}\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).

Denna formel är också känd som Leibniz-formeln .

Litteratur

Shipachev V.S. Fundamentals of Higher Mathematics: Textbook for High Schools / Ed. acad. A. N. Tikhonova. - M . : Högre skola, 1989 . — 479 sid. - ISBN 5-06-000048-6 .
Zorich V. A. Matematisk analys. Del 1. - 2-e. - M. : FAZIS, 1997 . — 554 sid. — ISBN 5-7036-0031-6 .