Indikator (matematik)

En indikator , eller karakteristisk funktion , eller en indikatorfunktion , eller en delmängdsmedlemskapsfunktion är en funktion definierad på en uppsättning som indikerar om ett element tillhör en delmängd . $A\subseteq X$ $X$ $x\i X$ $A$

Eftersom termen " karakteristisk funktion " redan används inom sannolikhetsteorin , används termen " indikatorfunktion " oftast i samband med sannolikhetsteori, för andra områden används oftare termen " karakteristisk funktion ".

För den analytiska representationen av indikatorfunktionen används ofta Heaviside- funktionen .

Definition

Låta vara en vald delmängd av en godtycklig uppsättning . Funktionen definierad enligt följande: $A\subseteq X$ $X$ ${\mathbf {1}}_{A}:X\to \{0,1\}$

{\mathbf {1}}_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\right.

kallas en inställningsindikator . $A$

Alternativa uppsättningsindikatornotationer är: eller , och ibland även och Iverson-parentesen . $A$ $\chi _{A}$ ${\mathbf {I}}_{A}$ $Yxa)$ $[x\in A]$

( Den grekiska bokstaven kommer från den första bokstaven i den grekiska stavningen av ordet egenskap .) $\chi$

Varning . Notationen kan betyda en identitetsfunktion . $\mathbf {1} _{A}$

Grundläggande egenskaper

En mappning som associerar en delmängd med dess indikator injektivt . Om och är två delmängder av , då $A\subseteq X$ $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $B$ $X\$

{\mathbf {1}}_{{A\cap B}}=\min\{{\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}\}={\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\cup B}}=\max\{({\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}}\}={ \mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-{\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\triangel B}}={\mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-2({\mathbf {1}} _{{A\cap B}}),

{\mathbf {1}}_{{A^{c}}}=1-{\mathbf {1}}_{A}.

Mer generellt, anta är en uppsättning delmängder av . Det är klart att för någon $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $X$ $x\i X$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}}(x))

är produkten av nollor och ettor. Denna produkt tar värdet 1 exakt för de som inte tillhör någon uppsättning och 0 annars. Det är därför $x\i X$ $A_k$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}})={\mathbf {1}}_{{X-\bigcup _{{k }}A_{k}}}=1-{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}.

Expandera vänster sida, vi får

{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}=1-\summa _{{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}}( -1)^{{|F|}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}}=\summa _{{\emptyset \neq F\subseteq \{1, 2,\ldots ,n\}}}(-1)^{{|F|+1}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}},

var är makten . Detta är en form av principen om inkludering och uteslutning . Detta exempel indikerar att indikatorn är en användbar notation i kombinatorik , som också används inom andra områden, till exempel i sannolikhetsteori : om är ett sannolikhetsutrymme med ett sannolikhetsmått och är en mätbar mängd , så blir indikatorn en slumpmässig variabel vars matematiska förväntan är lika med sannolikheten $|F|$ $F$ $X$ ${\mathbf {P}}$ $A$ $\mathbf {1} _{A}$ $A:$

E({\mathbf {1}}_{A})=\int \limits _{{X}}{\mathbf {1}}_{A}(x)\,d{\mathbf {P}}= \int \limits _{{A}}d{\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(A).\quad

Denna identitet används i enkla bevis på Markovs ojämlikhet .

Bibliografi

Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications , 2:a upplagan, John Wiley & Sons , Inc., 1999.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest och Clifford Stein. Introduktion till algoritmer , andra upplagan. MIT Press och McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7 . Avsnitt 5.2: Indikator slumpvariabler, s. 94–99.

Indikator (matematik)

Definition

Grundläggande egenskaper

Bibliografi

Se även