Fermi energi

Fermi-energin (nivån) ( ) för ett system av icke-interagerande fermioner är ökningen av energin i systemets grundtillstånd när en partikel tillsätts. Fermi-energin är ekvivalent med den kemiska potentialen i systemet i dess grundtillstånd vid absolut nolltemperatur . Fermienergin kan också tolkas som den maximala fermionenergin i grundtillståndet vid absolut nolltemperatur . Fermi-energin är ett av de centrala begreppen inom fast tillståndets fysik. $E_F$

För icke-relativistiska icke-interagerande partiklar med spin 1/2 i tredimensionellt utrymme

E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}} \right)^{2/3},

Namnet ges för att hedra den italienske fysikern Enrico Fermi . Här är den reducerade Planck-konstanten , är fermionmassan , är koncentrationen av partiklar . $\hbar$ $m_{0}$ $N/V$

Fermioner - partiklar med ett halvt heltalsspinn , vanligtvis 1/2, såsom elektroner - lyder Paulis uteslutningsprincip , enligt vilken två identiska partiklar, som bildar ett kvantmekaniskt system (till exempel en atom), inte kan ta samma kvantum stat. Därför följer fermioner Fermi-Dirac-statistiken . Grundtillståndet för icke-interagerande fermioner konstrueras med utgångspunkt från ett tomt system och gradvis lägga till partiklar en i taget, och successivt fylla tillstånden i den ordning de ökar deras energi (till exempel fyller en atoms elektronorbitaler med elektroner). När det erforderliga antalet partiklar har uppnåtts är Fermi-energin lika med energin i det högsta upptagna tillståndet (eller det lägsta lediga tillståndet: i fallet med ett makroskopiskt system är skillnaden oviktig). Därför kallas Fermi-energin också för Fermi-nivån . Partiklar med en energi lika med Fermi-energin rör sig med en hastighet som kallas Fermi-hastigheten .

I en fri elektrongas (en kvantmekanisk version av en idealisk gas av fermioner) kan kvanttillstånd märkas enligt deras momentum . Något liknande kan göras för periodiska system som elektroner som rör sig i en metalls atomgitter , med hjälp av det så kallade kvasi -momentet ( Partikel i en periodisk potential ). I båda fallen är Fermi-energitillstånden belägna på en yta i momentumrymden som kallas Fermi-ytan . För en fri elektrongas är Fermi-ytan ytan av en sfär; för periodiska system har den i allmänhet en förvrängd form. Volymen som finns under Fermi-ytan bestämmer antalet elektroner i systemet, och dess topologi är direkt relaterad till transportegenskaperna hos metaller, såsom elektrisk ledningsförmåga . Fermi-ytorna på de flesta metaller är väl studerade både experimentellt och teoretiskt.

Ferminivå vid temperaturer som inte är noll

För det viktiga fallet med elektroner i en metall vid alla rimliga temperaturer , kan vi överväga , där är den kemiska potentialen vid en given temperatur, är Boltzmann-konstanten . Denna situation kallas en degenererad Fermi-gas . (I det andra begränsningsfallet sägs Fermi-gasen vara icke-degenererad, yrkessiffrorna för den icke-degenererade Fermi-gasen är små och kan beskrivas med klassisk Boltzmann-statistik .) $T$ $kT\ll\mu$ $\mu$ $k$ $kT\gg\mu$

Fermi-energin för en fri Fermi-gas är relaterad till den kemiska potentialen genom ekvationen

\mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2} +{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right],

Därför är den kemiska potentialen ungefär lika med Fermi-energin vid temperaturer mycket under den karakteristiska Fermi-temperaturen . Den karakteristiska temperaturen är i storleksordningen 10 4 K för en metall, så vid rumstemperatur (300 K ) är Fermi-energin och den kemiska potentialen i själva verket ekvivalenta. Detta är signifikant eftersom den kemiska potentialen inte är Fermi-energin som kommer in i Fermi-Dirac-distributionen [1] $E_{F}/k$

${{f}_{FD}}\left(E-\mu \right)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT))\right )+1}}.$

Vid temperatur och fermionenergi lika med , tenderar Fermi-Dirac-distributionsfunktionen till värdet . Vid låga temperaturer är gränsen för att fylla energitillstånden symmetriskt utsmetad med en mängd av storleksordningen . I det här fallet är sannolikheten för att fylla elektroniska tillstånd med Fermi-energin . Vid höga temperaturer blir smetningen asymmetrisk, och värdet av den kemiska potentialen skiftar till området med låg energi [1] . $T\ till 0$ $E$ $E_F$ ${{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu (T)\right)\to {\frac {1}{2}}$ $kT\ll {{E}_{F}}$ $E=E_{F}$ $kT$ ${{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu \right)\approx 1/2$

Som Fermi-nivå vid , kan man välja en nivå fylld exakt med hälften (det vill säga nivån på tillståndet , sannolikheten för fyllning som med en partikel är lika med 1/2). $kT\ll {{E}_{F}}$

Energi, temperatur och fermihastighet

Element	Fermi energi, eV	Fermi temperatur, ×10 000 K	Fermihastighet, ×1000 km/s
Li	4,74	5,51	1,29
Na	3.24	3,77	1.07
K	2.12	2,46	0,86
Rb	1,85	2.15	0,81
Cs	1,59	1,84	0,75
Cu	7.00	8.16	1,57
Ag	5,49	6,38	1,39
Au	5,53	6,42	1,40
Vara	14.3	16.6	2,25
mg	7.08	8.23	1,58
Ca	4,69	5,44	1,28
Sr	3,93	4,57	1.18
Ba	3,64	4.23	1.13
Obs	5,32	6.18	1,37
Fe	11.1	13,0	1,98
Mn	10.9	12.7	1,96
Zn	9,47	11.0	1,83
CD	7,47	8,68	1,62
hg	7.13	8,29	1,58
Al	11.7	13.6	2.03
Ga	10.4	12.1	1,92
I	8,63	10,0	1,74
Tl	8.15	9,46	1,69
sn	10.2	11.8	1,90
Pb	9,47	11.0	1,83
Bi	9,90	11.5	1,87
Sb	10.9	12.7	1,96
Ni	11,67		2.04
Cr	6,92		1,56

Förhållandet mellan Fermi-energin och koncentrationen av ledningselektroner

Koncentrationen av ledningselektroner i degenererade halvledare är relaterad till avståndet från kanten av det delvis fyllda energibandet till Fermi-nivån. Detta positiva värde kallas ibland också Fermi-energin, i analogi med Fermi-energin för en fri elektrongas, som är känd för att vara positiv.

I metaller finns det vanligtvis flera delvis fyllda energiband, därför är det inte möjligt att ange den exakta formen av beroendet av koncentrationen av fria laddningsbärare på positionen för Fermi-nivån.

Se även

Quasi-Fermi nivå

Anteckningar

↑ 1 2 N. Ashcroft, N. Mermin. FYSIK I SOLID TILLSTÅND. Volym 1. - Moskva: Mir, 1979. - 458 sid.

Litteratur

Gusev V. G., Gusev Yu. M. Electronics. - M .: Högre skola, 1991. - S. 53. - ISBN 5-06-000681-6 .