Autonomt system av differentialekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 januari 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Autonomt system av differentialekvationer (ett annat namn: stationärt system av differentialekvationer ) - ett specialfall av ett system med differentialekvationer , när systemets argument inte uttryckligen ingår i de funktioner som definierar systemet. $t$

Ett autonomt system i sin normala form (även kallat ett dynamiskt system) har formen:

{\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n

eller i vektornotation:

{\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})

Minskning till fristående form

Vilket system av differentialekvationer som helst kan reduceras till ett autonomt genom att införa en extra hjälpfunktion , ersätta argumentet med det där det förekommer explicit, och komplettera systemet med ytterligare en ekvation . En sådan ersättning är dock av övervägande teoretisk betydelse, eftersom den ökar systemets dimension från till , vilket komplicerar strukturen i lösningsfamiljen. Det finns dock ett praktiskt intresse av en sådan ersättning. I numeriska metoder för stela system är det bekvämt att gå vidare till argumentet "båglängd", detta görs genom följande relation , som i själva verket är båglängden för integralkurvan i n + 1-dimensionellt utrymme. $x_{{n+1}}$ $t$ ${\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1$ $n$ $n+1$ ${\displaystyle dl={\sqrt {dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{n}dx_{i}^{2))))$

Autonoma systemegenskaper

Om är en lösning av ett autonomt system av differentialekvationer (i vektorform), så förblir denna funktion en lösning även när argumentet skiftas. Ett autonomt system modellerar autonoma processer, det vill säga en process som inte är föremål för yttre påverkan, och stationära processer, det vill säga processer som etableras i tid. Alla dessa processer bestäms helt av de initiala värdena för tillståndsvariablerna, d.v.s. och beror inte på valet av argumentets initiala värde . ${\bar {x}}={\bar {x}}(t)$ $x_1,\dots,x_n$ $t$

Se även

Homogent system av linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter
Unik lösbarhet av Cauchy-problemet för ett system av linjära differentialekvationer
Avvikelse från autonoma systembeslut

Länkar

V. I. Arnold. Vanliga differentialekvationer.