Axiom

Axiom ( forngrekiska ἀξίωμα "påstående, ställning"), eller postulat (av latin  postulatum  - lit. krävs [1] ), är den initiala positionen för varje teori , accepterad inom ramen för denna teori som sann utan att kräva bevis och används när bevisar dess andra bestämmelser, som i sin tur kallas satser [2] .

Utnämning

Behovet av att acceptera axiom utan bevis följer av ett induktivt argument: alla bevis tvingas förlita sig på vissa påståenden, och om vart och ett av dem kräver sina egna bevis kommer kedjan att visa sig vara oändlig. För att inte gå till oändligheten måste du bryta den här kedjan någonstans - det vill säga att acceptera vissa uttalanden utan bevis, som initiala. Det är dessa uttalanden, tagna som initiala, som kallas axiom [3] .

Inom modern vetenskap löses frågan om sanningen i de axiom som ligger till grund för någon teori antingen inom ramen för andra vetenskapliga teorier, eller genom att tolka denna teori [4] .

Axiomatisering (eller - formalisering ) av en teori är en explicit indikation på en ändlig eller räknebar , rekursivt uppräknad (som till exempel i Peanos axiomatik ) uppsättning axiom och slutledningsregler. Efter att namnen på de föremål som studeras och deras grundläggande relationer har angetts, såväl som de axiom som dessa relationer måste lyda, måste all ytterligare framställning baseras enbart på dessa axiom och inte förlita sig på den vanliga konkreta innebörden av dessa föremål och deras relationer.

Valet av axiom som ligger till grund för en viss teori är inte det enda. Exempel på olika men ekvivalenta uppsättningar av axiom kan hittas i matematisk logik och euklidisk geometri .

En uppsättning axiom kallas konsekvent , om det, baserat på denna uppsättnings axiom, med hjälp av logikens regler, är omöjligt att komma till en motsägelse, det vill säga att bevisa både ett visst påstående och dess negation samtidigt .

Den österrikiske matematikern Kurt Gödel bevisade " ofullständighetsteorem ", enligt vilka varje system av matematiska axiom ( formellt system ) där de naturliga talen, addition och multiplikation kan definieras är ofullständigt. Det betyder att det finns ett oändligt antal matematiska påståenden (funktioner, uttryck), varken sanningen eller falskheten kan bevisas utifrån detta axiomsystem. Dessutom, genom ofullständighetssatsen, kommer det bland dessa icke-deriverbara uttalanden att finnas ett uttalande om konsistensen av detta system.

Historik

För första gången finns termen "axiom" hos Aristoteles ( 384 - 322 f.Kr. ) och övergår i matematik från filosoferna i det antika Grekland . Euklid skiljer mellan begreppen "postulat" och "axiom" utan att förklara deras skillnader. Sedan Boethius tid har postulat översatts som krav (petitio), axiom som allmänna begrepp. Ursprungligen hade ordet "axiom" betydelsen av "sanningen uppenbar i sig själv". I olika manuskript av Euklids element är uppdelningen av uttalanden i axiom och postulat olika, deras ordning stämmer inte överens. Förmodligen hade de skriftlärda olika åsikter om skillnaden mellan dessa begrepp.

Inställningen till axiom som till några oföränderliga självklara sanningar bestod länge. Till exempel, i Dahls ordbok är ett axiom "bevis, klar i sig och obestridlig sanning som inte kräver bevis ".

Drivkraften till förändringen i uppfattningen av axiomen kom från den ryske matematikern Nikolai Lobatsjovskijs arbete om icke-euklidisk geometri , som först publicerades i slutet av 1820-talet. Medan han fortfarande var student försökte han bevisa Euklids femte postulat , men övergav det senare. Lobachevsky drog slutsatsen att det femte postulatet endast är en godtycklig restriktion som kan ersättas av en annan restriktion. Om Euklids femte postulat var bevisbart, då skulle Lobatjovskij stöta på motsägelser. Men även om den nya versionen av det femte postulatet inte var visuellt uppenbar, uppfyllde den till fullo rollen som ett axiom, vilket gjorde att man kunde bygga ett nytt konsekvent geometrisystem.

Till en början kändes inte Lobachevskys idéer igen (till exempel talade akademiker Ostrogradsky negativt om dem ). Senare, när Lobatsjovskij publicerade arbeten på andra språk, uppmärksammades han av Gauss , som också hade viss erfarenhet av icke-euklidisk geometri. Han uttryckte indirekt beundran för detta arbete. Lobatsjovskijs geometri fick verkligt erkännande endast 10-12 år efter författarens död, när dess överensstämmelse bevisades när det gäller konsistensen av Euklids geometri. Detta ledde till en revolution i den matematiska världen. Hilbert lanserade ett massivt projekt för att axiomatisera all matematik för att bevisa dess konsekvens. Hans planer skulle inte förverkligas på grund av Gödels efterföljande ofullständighetsteorem . Detta var dock drivkraften till formaliseringen av matematiken. Till exempel dök det upp axiomen för naturliga tal och deras aritmetik , Cantors arbete med skapandet av mängdlära . Detta gjorde det möjligt för matematiker att skapa strikt sanna bevis för satser.

Nu är axiom inte berättigade i sig själva, utan som nödvändiga grundelement i teorin - axiom kan vara ganska godtyckliga, de behöver inte vara uppenbara. Det enda ofrånkomliga kravet för axiomatiska system är deras interna konsistens. Kriterierna för att bilda en uppsättning axiom inom en viss teori är ofta pragmatiska: kortfattad formulering, lätt att manipulera, minimering av antalet initiala begrepp, etc. Ett sådant tillvägagångssätt garanterar inte sanningen i de accepterade axiomen [2] . I enlighet med Poppers kriterium motbevisar ett enda negativt exempel teorin och bevisar som en konsekvens axiomsystemets falskhet, medan många bekräftande exempel bara ökar sannolikheten för axiomsystemets sanning.

Exempel

Exempel på axiom

  1. Valfritt axiom
  2. Euklids axiom för parallellism
  3. Arkimedes Axiom
  4. Volumetrisk axiom
  5. Axiom för regelbundenhet
  6. Axiom för fullständig induktion
  7. Kolmogorovs axiom
  8. booleskt axiom .

Exempel på axiomsystem

  1. Axiomatik av mängdlära
  2. Axiomatik av reella tal
  3. Axiomatics of Euclid
  4. Hilberts axiomatik .
  5. Tarskis axiomatik

Se även

Litteratur

Länkar

Anteckningar

  1. ↑ Ordbok över främmande ord. - M .: " Ryskt språk ", 1989. - 624 sid. ISBN 5-200-00408-8
  2. ↑ 1 2 Redigerad av A.A. Ivin. Axiom // Filosofi: Encyklopedisk ordbok. — M.: Gardariki . – 2004.
  3. ↑ Cline Maurice . "Matte. Förlust av definition." — M.: Mir, 1984.
  4. ↑ Filosofisk encyklopedisk ordbok. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk. Ch. redaktörer: L. F. Ilyichev, P. N. Fedoseev, S. M. Kovalev, V. G. Panov. 1983.
  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk