Volumetrisk axiom

Volymaxiomet kallas följande uttalande av mängdteori :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

Om vi skriver om volymaxiomet i formen

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\to b\in a_{2})\ \land \ \forall b\ (b\ in a_{2}\to b\in a_{1})\to a_{1}=a_{2})

då kan axiomet formuleras på följande sätt:

"Oavsett de två uppsättningarna, om varje element i den första uppsättningen tillhör den andra uppsättningen och varje element i den andra uppsättningen tillhör den första uppsättningen, då är den första uppsättningen identisk med den andra uppsättningen."

En annan formulering [1] :

"Två uppsättningar är lika om och bara om de består av samma element."

Andra formuleringar av 3D-axiomet

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{ 2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\ \veebar \ b\in a_{ 2})\ )$

Anteckningar

Volymaxiomet uttrycker det nödvändiga villkoret för att två uppsättningar ska vara lika. Ett tillräckligt villkor för jämlikhet mellan mängder härleds från predikataxiomen , nämligen: $=$

\forall a\ (a=a)

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))

, var är någon matematiskt korrekt bedömning om , och är samma bedömning, men om .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

Genom att kombinera det angivna tillräckliga villkoret för jämlikhet av uppsättningar med axiom för volym , får vi följande kriterium för jämlikhet mellan uppsättningar :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2}) \ )

Detta kriterium om jämlikhet mellan uppsättningar är inte sämre och inte bättre än andra liknande kriterier, inklusive:

1) kriterium för likhet av komplexa tal

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))

2) kriterium för likheten mellan ordnade par

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )

3) kriterium för likheten mellan oordnade par

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )

4) kriterium för likhet mellan två sekvenser

\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})

Av det föregående framgår att volymaxiomet är en organisk del av mängdlärans axiomatik.

Volymaxiomet används för att bevisa det unika hos en mängd vars existens redan har deklarerats [av axiomet] eller fastställts [av teoremets bevis].

Exempel

1. Bevis på det tomma setets unika karaktär

Förekomsten av [minst en] tom mängd deklareras av axiomet

\exists a\forall b\ (b\notin a)

Det krävs för att bevisa förekomsten av högst en uppsättning , för vilken påståendet är sant $a$

\forall b\ (b\notin a)

Vi måste med andra ord bevisa

\exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))

Eller, vad som är samma, det krävs för att bevisa

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1 }=a_{2})

Bevis

{\begin{aligned}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{aligned}}

Sedan är beviset på det tomma setets unika karaktär fullständigt. $\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a \forall b\ (b\notin a)$

2. Bevis på det unika hos uppsättningen av delmängder

Förekomsten av [minst en] uppsättning delmängder deklareras av axiomet

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Det krävs för att bevisa förekomsten av högst en uppsättning , för vilken påståendet är sant $d$

\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Vi måste med andra ord bevisa

\exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))

Eller, vad som är samma, det krävs för att bevisa

\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{ 2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})

Bevis

{\begin{aligned}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_ {1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned}}

Sedan är beviset på unikheten hos uppsättningen av delmängder slutfört. $\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Se även

Axiomatik av mängdlära

Anteckningar

↑ Stoll R. Uppsättningar. Logik. axiomatiska teorier. - M., Upplysning, 1968. - Upplaga 70 000 ex. - s. 13

Volumetrisk axiom

Andra formuleringar av 3D-axiomet

Anteckningar

Se även

Anteckningar

Litteratur