Paraxiom

Axiomet [för existensen av ett oordnat] par är följande uttalande från mängdteorin :

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

Nämligen: "Från vilken som helst två [identiska eller olika] uppsättningar kan man bilda [minst ett]" oordnat par ", det vill säga en sådan uppsättning , vars varje element är identiskt med en given uppsättning eller en given uppsättning ." $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

Andra formuleringar av parets axiom

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b:\ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\}\ )$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\notin c\ \leftrightarrow \ b\neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (a_{1}\in c\ \land \ a_{2}\in c\quad \land \quad \forall b\ (b \neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2}\to b\notin c)\ )$

Anteckningar

1. Paraxiomet kan härledas från transformationsschemat

$\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\ \land \ c=\mathrm {f} (b)\ ))$ , om vi sätter och väljer en funktion sådan att . $a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))$ $\mathrm {f}$ $c=\mathrm {f} (b)\ \Leftrightarrow \ (b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})$

2. Med ledning av volymaxiomet kan man bevisa det unika hos det [oordnade] paret. Med andra ord kan man bevisa att paraxiomet är ekvivalent med påståendet

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})

, vad är

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall c'\ (\forall b\ (b\in c'\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2} )\ \leftrightarrow c=c')

Det sista påståendet tillåter oss att ange följande: "Av två [identiska eller olika] uppsättningar kan endast ett "oordnat par" bildas, det vill säga en sådan uppsättning , vars varje element är identiskt med en given uppsättning eller en given uppsättning . $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

3. Från axiomet för ett par kan man härleda ett teorem om förekomsten av en enelementsmängd:

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)

Se även

Axiomatik av mängdlära