Tom mängd axiom

Axiomet för [existensen av] en tom mängd är följande uttalande av mängdteorin :

\exists a\forall b\ (b\notin a)

Den tomma mängden axiom förkunnar existensen av åtminstone en tom mängd, det vill säga en mängd som inte innehåller några element. Den tomma mängden är en egen delmängd, men inte ett eget element.

Andra formuleringar av den tomma mängden axiom

$\neg \ (\forall a\exists b\ (b\in a))$ .

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\neq b)$ vad är . $\exists a\ (a=\{b\kolon b\neq b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\in b)$ vad är . $\exists a\ (a=\{b\kolon b\in b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow a\in b)$ vad är . $\exists a\ (a=\{b\colon a\in b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\not \subset b)$ vad är . $\exists a\ (a=\{b\colon b\not \subset b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\subsetneq b)$ vad är . $\exists a\ (a=\{b\colon b\subsetneq b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b])$ vad är . $\exists a\ (a=\{b\kolon \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b]\})$

$\cdots$

Anteckningar

1. Axiomet för tomma mängder kan härledas från följande uppsättning påståenden:

$\forall a\forall b\ (b=b\to (b\notin a\to b=b)\ )$ ,
$\forall b\ (b=b)$ ,
$\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)$ .

Dessutom kan den tomma mängden axiom härledas från axiomet oändlighet , presenterat i följande form:

$\exists a\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing}))\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\till \exists c\ (c\in a\ \land \ \forall d\ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \d=b))))$

2. Med ledning av volymaxiomet kan man bevisa det unika med den tomma uppsättningen. Med andra ord kan man bevisa att den tomma mängden axiom är ekvivalent med påståendet

\exists !a\forall b\ (b\notin a)

, vad är

\exists a\forall b\ (b\notin a)\quad \land \quad \forall a\forall a'\ (\forall b\ (b\notin a')\ \land \ \forall b\ (b\notin a)\to a'=a)

Det unika med den tomma uppsättningen motsäger inte den "oändliga mångfalden" av beskrivningar av den tomma uppsättningen, inklusive följande beskrivningar:

${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {R} \land 0\cdot b=1\))$ ,
${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {N} \land 1-2=b\))$ ,
${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {Z} \land 2\cdot b=1\))$ ,
$\varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {Q} \land b={\sqrt {2}}\}$ .
${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {R} \land b^{2}=-1\))$ .

Tom mängd axiom

Andra formuleringar av den tomma mängden axiom

Anteckningar

Se även