Algebraisk tillägg

Det algebraiska komplementet till ett matriselement är talet $\a_{{ij}}$ $\A$

\ A_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}M_{{ij}}

där är en extra minor , bestämningsfaktorn för matrisen som erhålls från den ursprungliga matrisen genom att ta bort den i -te raden och den j -te kolumnen. $\M_{{ij}}$ $\A$

Egenskaper

Det algebraiska komplementet till ett element är koefficienten med vilken samma element ingår i matrisdeterminanten. Detta bekräftas av följande teorem:

Sats (om nedbrytningen av determinanten i en rad/kolumn). Matrisdeterminanten kan representeras som en summa $A$

{\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

För ett algebraiskt komplement är följande påstående sant:

Lemma om den falska nedbrytningen av determinanten. Summan av produkterna av elementen i en rad (kolumn) och motsvarande algebraiska komplement av elementen i en annan rad (kolumn, respektive) är lika med noll, det vill säga för och . $\ \summa _{{j=1}}^{n}a_{{i_{1}j}}A_{{i_{2}j}}=\summa _{{i=1}}^{n} a_{{ij_{1}}}A_{{ij_{2}}}=0$ $i_{1}\neq i_{2}$ $j_{1}\neq j_{2}$

Från dessa påståenden följer algoritmen för att hitta den inversa matrisen :

ersätt varje element i den ursprungliga matrisen med dess algebraiska komplement,
transponera den resulterande matrisen - som ett resultat kommer unionsmatrisen att erhållas ,
dividera varje element i unionsmatrisen med determinanten för den ursprungliga matrisen.

Algebraisk tillägg

Egenskaper

Se även