Algebraisk Bianchi-identitet

Den algebraiska Bianchi-identiteten är en viss typ av symmetri hos krökningstensorn . Även känd som Bianchi-Padova-identiteten [1] ), eller den första Bianchi-identiteten . Identiteten hittades av Gregorio Ricci-Curbastro , men den kallas den första Bianchi-identiteten eftersom den liknar den differentiella identiteten som beskrivs av Luigi Bianchi .

Formulering

Riemann-tensorn uppfyller följande identitet:

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

som kallas den algebraiska Bianchi-identiteten

Notera

Denna identitet är ekvivalent med följande relation för komponenterna i krökningstensorn:

R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0

Identitetsstavningar

Eftersom Riemann-tensorn har två antisymmetriska indexpar (tensorn vänder sitt tecken när två index byts ut inom vart och ett av paren), och tensorn är symmetrisk när paren själva byts om, kan vi till exempel byta ut de två första index. Vi får (byter tecken):

(1a)\qquad R_{{isjk}}+R_{{jski}}+R_{{ksij}}=0

Om vi nu byter indexpar får vi:

(1b)\qquad R_{{jkis}}+R_{{kijs}}+R_{{ijks}}=0

Alla dessa identiteter är ekvivalenta, och de kan beskrivas med ord enligt följande: vi fixar ett av Riemann-tensorns index, och med de andra tre indexen utför vi tre cykliska permutationer. Summan av komponenterna i Riemann-tensorn med de erhållna tre uppsättningarna av index är lika med noll.

Andra alternativ erhålls genom att höja ett eller flera index, till exempel:

(1c)\qquad R_{{\;ijk}}^{s}+R_{{\;jki}}^{s}+R_{{\;kij}}^{s}=0

Antisymmetrisering av Riemann-tensorn

Genom att använda den metriska matryoshka-tensorn för en tensor med godtycklig rang, är det möjligt att komponera följande tensor som är antisymmetrisk i alla index: $T_{{i_{1}\cdots i_{m}}}$ $m$

(16)\qquad A_{{i_{1}\dots i_{m}}}={1 \over m!}g_{{i_{1}\dots i_{m}}}^{{j_{1} \dots j_{m}}}T_{{j_{1}\dots j_{m}}}

Uppenbarligen förblir den antisymmetriska tensorn oförändrad efter antisymmetriseringsproceduren.

Låt oss tillämpa antisymmetri på Riemann-tensoren:

(17)\qquad A_{{sijk}}={1 \över 4!}g_{{sijk}}^{{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}}R_{{s_ {1}i_{1}j_{1}k_{1}}}={1 \over 24}{\begin{vmatrix}\delta _{s}^{{s_{1}}}\delta _{i }^{{s_{1}}}\delta _{j}^{{s_{1}}}\delta _{k}^{{s_{1}}}\\\delta _{s}^{ {i_{1}}}\delta _{i}^{{i_{1}}}\delta _{j}^{{i_{1}}}\delta _{k}^{{i_{1} }}\\\delta _{s}^{{j_{1}}}\delta _{i}^{{j_{1}}}\delta _{j}^{{j_{1}}}\ delta _{k}^{{j_{1}}}\\\delta _{s}^{{k_{1}}}\delta _{i}^{{k_{1}}}\delta _{ j}^{{k_{1}}}\delta _{k}^{{k_{1}}}\end{vmatrix}}R_{{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1 }}}

När vi utökar determinanten får vi 24 termer genom permutation av index , och parade permutationer kommer att vara med ett plustecken och udda permutationer med ett minustecken: $sijk$

(18)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 24}\left((R_{{sijk}}+R_{{sjki}}+R_{{skij}})-(R_{{sjik} }+R_{{sikj}}+R_{{sji}})+\dots \right)

Totalt kommer formel (18) att innehålla åtta grupper av termer, tre termer vardera. Med tanke på Riemann-tensorns symmetri är det lätt att se att alla dessa åtta grupper är likadana (med förbehåll för tecken). Därför får vi:

(19)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 3}(R_{{sijk}}+R_{{sjki}}+R_{{skij}})

Nu kan den algebraiska Bianchi-identiteten beskrivas med ord som följer: antisymmetriseringen av Riemann-tensorn är lika med noll.

Antal linjärt oberoende komponenter av inre krökning

Om är dimensionen för grenröret , då är antalet kombinationer i det antisymmetriska indexparet lika med: $n$

(20)\qquad \alpha =C_{n}^{2}={n(n-1) \över 2}

Eftersom Riemann-tensorn är symmetrisk med avseende på permutationen av indexpar, skrivs dess komponenter (upp till ett tecken) av ett sådant antal olika tal:

(21)\qquad \beta ={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n-1) \over 4}\left({n(n-1) \over 2}+1\ höger)

Men dessa tal är förbundna med linjära beroenden som följer av den algebraiska Bianchi-identiteten. Antalet av dessa ekvationer, som det är lätt att se från formel (19), är lika med antalet väsentligen olika komponenter i den fjärde rangens antisymmetriska tensorn : $A_{{ijkl}}$

(22)\qquad \gamma =C_{n}^{4}={n(n-1)(n-2)(n-3) \over 24}

(Observera att formel (22) ger det korrekta resultatet, d.v.s. noll, när ) Därför är antalet linjärt oberoende komponenter i Riemann-tensorn lika med skillnaden: $n<4$

(23)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n-1) \över 24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))={n^{ 2}(n^{2}-1) \över 12}

Formel (23) ger endast det maximalt möjliga antalet linjärt oberoende komponenter i Riemann-tensorn för en given mångfaldsdimension. Och för specifika grenrör kan detta antal vara mindre. Till exempel, för ett platt utrymme är detta nummer lika med noll, och för en hyperyta i huvudriktningarnas koordinatsystem har vi formeln för indexen: $i \ne j$

(24)\qquad R_{{ijij}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}}

och följaktligen överstiger inte antalet linjärt oberoende komponenter antalet kombinationer av 2, dvs. $n$

(25)\qquad N_{{hypersurface}}=C_{n}^{2}={n(n-1)/2}

Relation till andra egenskaper hos inre krökning

På grund av den algebraiska Bianchi-identiteten bestäms den inneboende krökningen av ett grenrör helt av värdena för följande kvadratiska form i bivectors : $\sigma ^{{ij}}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}$

(26)\qquad \Phi ({\boldsymbol {\sigma }})=R_{{ijkl}}\sigma ^{{ij}}\sigma ^{{kl}}

Också relaterat till den algebraiska Bianchi-identiteten är möjligheten till en alternativ syn på inre krökning genom den symmetriska inre krökningstensorn .

Se även

Bianchis differentiella identitet

Anteckningar

↑ Korn G., Korn T. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer. — M.: Nauka, 1973