Asymptotisk jämlikhet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 februari 2020; kontroller kräver 8 redigeringar .

Asymptotisk likhet (ekvivalens) i matematisk analys är en ekvivalensrelation mellan funktioner definierade i någon punkterad grannskap av en punkt, vilket betyder likheten av funktioner nära denna punkt med ett godtyckligt litet relativt fel . Asymptotiska likheter används i stor utsträckning vid beräkning av gränser. Ofta kallas asymptotiskt ekvivalenta funktioner helt enkelt ekvivalenta, utan ordet asymptotiskt utelämnas. Också ganska vanligt är termen ekvivalent infinitesimal, som inte är något annat än ett specialfall av asymptotisk ekvivalens för infinitesimala funktioner.

Motivation

Många funktioner sägs ofta vara ungefär lika eller bete sig likadant någon gång. Denna terminologi är dock för vag, och om vi verkligen vill tala om samma beteende hos funktioner måste detta definieras formellt.

Låt oss definiera följande term: vi kommer att säga att en funktion approximerar eller approximerar en funktion nära punkten om vi för ett godtyckligt litet tal kan ta en sådan grannskap där dessa funktioner inte skiljer sig mer än detta tal. På språk: $g(x)$ $f(x)$ $x_{0}$ $\varepsilon ,\delta$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):|f(x)-g(x)|<\varepsilon

Det är inte svårt att se att denna definition innebär att gränsen för skillnaden mellan funktioner är lika med noll när vi närmar oss punkten . är inget annat än det absoluta felet av approximationen av en funktion av en funktion . När vi definierar en funktion som approximerar vid en punkt, kräver vi att det absoluta felet kan göras godtyckligt litet. I detta fall kommer det relativa felet inte nödvändigtvis att vara litet. Ett enkelt exempel: en funktion approximerar en funktion vid en punkt eftersom de har samma gräns. Det relativa felet för denna approximation på alla punkter utom . $x_{0}$ $|f(x)-g(x)|$ $f(x)$ $g(x)$ $-x$ $x$ $0$ $0$ $200\%$

Istället för det absoluta felets litenhet kan man kräva att det relativa felet ska vara litet. Funktioner med ett sådant tillstånd kallas asymptotiskt ekvivalenta [1] . Det relativa felet (för icke-noll i någon punkterad omgivning av punkten ) för funktionerna och beräknas med formeln . Det asymptotiska ekvivalensvillkoret formuleras sedan enligt följande: $f(x)$ $x_{0}$ $f(x)$ $g(x)$ $\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)))\right|$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|<\varepsilon

Detta motsvarar uppenbarligen tillståndet , som oftast tas som definitionen av asymptotisk ekvivalens. $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)}{f(x)))=1$

Definition

Klassisk definition

Låt och definieras i någon punkterad omgivning av punkten ( det kan också vara oändlig, både med ett bestämt tecken och utan tecken) och inte lika i någon punkterad grannskap. Fungerar och kallas asymptotiskt lika för om: $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle x\to x_{0))$

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Basekvivalens

Naturligtvis kan asymptotisk jämlikhet betraktas inte bara för den enkla tendensen hos ett argument till något värde. Det är möjligt att överväga gränsen över andra baser: när argumentet tenderar till höger, från vänster, över någon delmängd och i allmänhet över vilken bas som helst. Därför är det vettigt att definiera en asymptotisk ekvivalens för vilken bas som helst . Låt och definieras på något element av basen och inte lika på något element av basen. Fungerar och kallas asymptotiskt lika i bas om: [2] ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$

\lim _{\mathfrak {B}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Allmänt fall

Begreppet asymptotisk jämlikhet kan också generaliseras till det fall då villkoret om ojämlikhet till noll inte är uppfyllt i någon stadsdel. Låt och definieras på något element av basen . Funktioner och kallas asymptotiskt lika i bas om funktionen kan representeras som , där [3] . $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=\varepsilon (x)g(x)$ $\lim _{\mathfrak {B}}\varepsilon (x)=1$

Genom o-small

En likvärdig definition av asymptotisk jämlikhet kan ges med begreppet o-liten. Låt och definieras på något element av basen och inte lika på något element av basen. Funktioner och sägs vara asymptotiskt lika i bas , om funktionen kan representeras som , där är o-liten av i bas . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(f(x))$ $o(f(x))$ $f(x)$ ${\mathfrak {B}}$

Genom det oändliga

För det allmänna fallet kan ovanstående definition i termer av o-liten formuleras med begreppet infinitesimal. Låt och definieras på något element av basen . Funktioner och kallas asymptotiskt lika i bas , om funktionen kan representeras som , där är en infinitesimal i bas [3] . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(1)f(x)$ $o(1)$ ${\mathfrak {B}}$

Tilden används för att beteckna en asymptotisk likhet : . $f(x)\sim g(x)$

Ekvivalensrelation

Asymptotisk jämlikhet med avseende på någon bas i full mening är en ekvivalensrelation på den uppsättning funktioner som definieras på någon del av basen, det vill säga den är reflexiv , symmetrisk och transitiv . Därför kan uppsättningen av sådana funktioner delas in i ekvivalensklasser.

Alla två funktioner som har samma ändliga icke-nollgräns är ekvivalenta med varandra. Å andra sidan innebär ekvivalensen av en funktion av någon funktion med en ändlig gräns som inte är noll automatiskt att deras gräns är lika. Således bildar uppsättningen funktioner med samma ändliga gräns som inte är noll en ekvivalensklass.

Detta är inte alls fallet med oändligt små, oändligt stora och gränslösa funktioner. Det är dessa ekvivalenser som är av intresse. Ekvivalensen av två funktioner innebär likheten mellan deras gränser (eller deras icke-existens), så vi kan separat betrakta ekvivalensklasserna för oändligt stora och oändligt små funktioner [3] .

Exempel

Polynomet vid är ekvivalent med dess term som inte är noll med den högsta graden och vid med den lägsta. $x\till \infty$ $x\to 0$

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}\sim a_{n}x^{n }

på

x\to \infty ,a_{n}\neq 0

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{m+1}x^{m+1}+a_{m}x ^{m}\sim a_{m}x^{m}

på

x\to 0,a_{m}\neq 0

Vid beräkning av gränser ger många läroböcker ofta ekvivalenstabeller för vissa elementära funktioner:

Motsvarande infinitesimal vid

x\to 0

Funktion 1	Funktion 2
$\sin x$	$x$
$\operatörsnamn {tg}x$	$x$
$\arcsin x$	$x$
$\operatörsnamn{arctg}x$	$x$
$1-\cos x$	${\frac {x^{2}}{2}}$
$e^{x}-1$	$x$
$\ln(1+x)$	$x$
$(1+x)^{\alpha }-1$	$\alpha x$
$\operatörsnamn {sh} x$	$x$
$\operatörsnamn {th} x$	$x$
$\operatörsnamn {arsh} x$	$x$
$\operatörsnamn {arth} x$	$x$
$\operatörsnamn {ch} x-1$	${\frac {x^{2}}{2}}$

Ganska känd är Stirling-formeln , som approximerar faktorialet med en kontinuerlig funktion:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

på

n\till\infty

Asymptotika är användbara för att uppskatta kombinatoriska kvantiteter med tillräckligt stora parametrar. Till exempel, genom att ersätta Stirling-formeln i den explicita formeln för beräkning av binomialkoefficienten , kan man få det:

{\binom {2n}{n}}\sim {\sqrt {\frac {1}{\pi n}}}2^{2n}

på

n\till\infty

Antalet primtal mindre än ett givet tal har också en enkel asymptotisk approximation :

{\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\ln {n))))

vid ,

n\till\infty

där är antalet primtal mindre än $\stift)$ $n$

Egenskaper

Det relativa felet tenderar till noll. Om för basen , tenderar det relativa felet för denna bas till noll. Denna egenskap leder i allmänhet till definitionen av asymptotisk jämlikhet. Observera att det absoluta felet inte behöver vara noll. Exempel: vid , men deras absoluta fel är konstant och lika med . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $x\sim x+1$ $x\till \infty$ $ett$
Ersättning för en motsvarighet i gränsen. Om i bas , då i den meningen att gränserna antingen är lika eller båda existerar inte. $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $\lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\lim _{\mathfrak {B}}g(x)$

Den här egenskapen låter dig ersätta uttrycket under gränstecknet med ett motsvarande. Det är på det som tekniken för att beräkna gränser med hjälp av ekvivalenser är baserad.

Algebraiska operationer på ekvivalenser. Låt vidare , , över basen . Sedan $f(x)\sim f_{1}(x)$ $g(x)\sim g_{1}(x)$ $m\in \mathbb {N}$ ${\mathfrak {B}}$

f(x)g(x)\sim f_{1}(x)g_{1}(x)

med bas .

{\mathfrak {B}}

{\frac {f(x)}{g(x)}}\sim {\frac {f_{1}(x)}{g_{1}(x)))

med bas .

{\mathfrak {B}}

{\displaystyle (f(x))^{m}\sim (f_{1}(x))^{m))

med bas .

{\mathfrak {B}}

Alla likheter här i betydelsen gränser är antingen lika, eller så existerar inte båda. Den sista egenskapen kan generaliseras till fallet med en bråkdel, men eftersom negativa tal inte kan höjas till en icke-heltalspotens, är det nödvändigt att först kontrollera om de slutliga funktionerna kommer att definieras på något element i basen. För aritmetiska rötter av udda grad kan egenskapen tillämpas utan ytterligare kontroller.

Dessa egenskaper används ofta i praktiken för att beräkna gränsen. Exempel:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x(e^{x}-1)}{(\ln(x+1))^{2}\cdot e^{x- 1}}}=\lim _{x\till 0}{\frac {x\cdot x}{x^{2}\cdot e^{-1}}}=e

Observera att det inte finns någon analog egenskap för en summa: summan av ekvivalenter behöver inte vara lika med summan.

Representation genom o-small. $f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)+o(f(x))=g(x)+f(x)o(1)$

Eftersom detta är en alternativ definition av ekvivalens kan den också användas tvärtom. Till exempel: vid , därför att . Detta gör att vi kan bli av med små termer i ekvivalenser. Exempel:

x+\ln x\sim x

x\till +\infty

\ln x=o(x)

\lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x^{1}0-lnx)=\lim _{x\to +\infty}e^{x}=+\ infty

Denna forward-egenskap används ofta i kombination med följande:

o-liten är o-liten av motsvarande. $f(x)\sim g(x)\Högerpil o(f(x))=o(g(x))$

Trots att summan inte kan ersättas med motsvarande, kan du använda de två sista egenskaperna:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x+\ln(x+1)}{e^{x}-1+\operatörsnamn {arctg} {x}}}=\lim _ {x\till 0}{\frac {x+o(\sin x)+x+o(\ln(x+1))}{x+o(e^{x}-1)+o(\operatörsnamn {arctg} {x})}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+o(x)}{2x+o(x)}}=\lim _{x\to 0}{ \dfrac {2x+o(1)x}{2x+o(1)x}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2+o(1)}{2+o(1)} }={\frac {2}{2}}=1

Om funktionerna är ekvivalenta med avseende på någon bas, så är de ekvivalenta med avseende på någon starkare bas . Exempel: för , vilket betyder att de är likvärdiga för . $\sin x\sim x$ $x\to 0$ $x\to 0+$

Satsen om ekvivalensen av komplexa funktioner, liksom satsen om gränsen för en komplex funktion, har en komplicerad formulering. Vi formulerar 3 versioner av denna sats:

Ekvivalens av komplexa funktioner.
- För kontinuerliga funktioner. Låt för , och vara kontinuerlig vid punkten , . Sedan på basen . $f(x)\sim g(x)$ ${\displaystyle x\to x_{0))$ $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Versionen av satsen för kontinuerliga funktioner täcker dock de flesta av de exempel man stöter på i praktiken. Till exempel: kl . Diskontinuerliga funktioner kräver ytterligare ett villkor.

\sin {\dfrac {1}{x}}\sim {\dfrac {1}{x}}

x\till \infty

För diskontinuerliga funktioner. Låt för , , på något element av basen, ingenstans ta värdet . Sedan på basen . $f(x)\sim g(x)$ ${\displaystyle x\to x_{0))$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $h(x)$ $x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Båda dessa egenskaper är en följd av den allmänna satsen för gränser över en godtycklig bas.

För en godtycklig bas. Let by , definieras på något baselement och för varje baselement finns det ett baselement så att . Sedan på basen . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {D}}$ $h(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $d$ ${\mathfrak {D}}$ $b$ ${\mathfrak {B}}$ $h(b)\subseteq d$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Låt och vara positiv till någon del av basen. om och bara om . $f(x)$ $g(x)$ $f(x)\sim g(x)$ $\ln {f(x)}=\ln {g(x)}+o(1)$
Om , och , då . $f(x)\sim g(x)$ $c=\operatörsnamn {const} {}$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{f(x)))$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{g(x)))$
Serielikvärdighet . Enligt Stolz' teorem , för två oändliga serier:

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{a_{n))

och ,

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n))

om och rad:

\forall n:\ b_{n}>0

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n))

skiljer sig, följer det att:

a_{n}\sim b_{n}

\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}}\sim \sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}}

Beställ

Liknande i betydelsen till asymptotisk jämlikhet, men mindre strikt, är närvaron av samma ordning av funktioner . Funktionerna och sägs ha samma ordning om . I det här fallet används notationen eller . Om dessa funktioner är oändligt små kallas ordningen vanligtvis för litenhetsordningen, och om den är oändligt stor, så kallas den för tillväxtordningen. $f(x)$ $g(x)$ $\exists a,A:\ \exists X:\ \forall x>X:ag(x)\leqslant f(x)\leqslant Ag(x)$ $f(x)=\Theta (g(x))$ $f(x)\in \Theta (g(x))$

Samtidigt finns det en konstant sådan att . Som ett exempel räcker det att notera att , eftersom det dock inte finns någon sådan konstant att . $c$ $cf(x)\sim g(x)$ $x(1+|\sin {x}|)=\Theta (x)$ $x\leqslant x(1+|\sin {x}|)\leqslant 2x$ $c$ $x(1+|\sin {x}|)\sim cx$

Anteckningar

↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 264.
↑ Arkhipov, 2004 , sid. 73.
↑ 1 2 3 encyklopedi av matematik .

Litteratur

Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. I 3 volymer. Volym 1 . - M . : Bustard, 2003. - 704 sid. (ryska)
Arkhipov, G. I. Föreläsningar om matematisk analys: lärobok. för universitet / G. I. Arkhipov , V. A. Sadovnichiy , V. N. Chubarikov ; ed. V. A. Sadovnichy. - 5:e uppl., Rev. - M . : Drofa, 2004. - 640 sid. — (Klassisk universitetslärobok). — ISBN 5-7107-8900-3 .
Asymptotisk jämlikhet . Encyclopedia of Mathematics . (obestämd)