Affin längd

Affin längd är en parameter för en plan kurva , som bevaras under ekviaffina transformationer (det vill säga area -bevarande affina transformationer ).

Definition

För en platt kurva beräknas den affina längden med formeln ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2))$

l=\int \limits _{a}^{b}|{\dot {\gamma }}(t)\ gånger {\ddot {\gamma }}(t)|^{1/3}dt ,

där betecknar korsprodukten , och och är första och andra derivatan. $\ gånger$ ${\dot {\gamma }}(t)$ ${\ddot \gamma }(t)$

Specialfall

Den affina längden av en funktionsgraf ges av $y=f(x)$ $f$ $l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|f''(x)|}}dx,$
För en kurva med naturlig parameter och krökning $\gamma (s)$ $\varkappa(s)$ $l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|\varkappa (s)|}}ds.$

Egenskaper

Den affina båglängden för en parabel är där S är arean av triangeln som bildas av bågens ackord och tangenterna till parabeln i ändarna av bågen. $2{\sqrt[{3}]{S)),$
Bland konvexa slutna kurvor med en fast affin längd avgränsade ellipser (och endast de) det minsta området.

Variationer och generaliseringar

Det finns också generaliseringar av affin längd till fallet med rymdkurvor och till den allmänna affingruppen, såväl som till dess andra undergrupper.

Litteratur

L. Feyesh Tot, Arrangemang på ett plan, på en sfär och i rymden , M., Fizmatlit, 1958. - 364 sid.