Visningsvariation

Displayvariationen är en numerisk egenskap hos displayen som är förknippad med dess differentialegenskaper.

Begreppet "visningsvariation" definierades av S. Banach [1] .

Tvådimensionellt fall

Överväg definitionen av en mappningsvariation för det tvådimensionella fallet.

Låt kartläggningen

\alpha \colon x=f(u,\;v),\;y=\varphi (u,\;v),

var och är kvadratkontinuerliga funktioner. En mappning sägs ha avgränsad variation om det finns ett antal så att för varje sekvens av icke-överlappande kvadrater med sidor parallella med koordinataxlarna , olikheten $f(u,\;v)$ $\varphi (u,\;v)$ $D_{0}=[0,\;1]\ gånger [0,\;1]$ $\alfa$ $M>0$ $D^{i}\subset D_{0}\;(i=1,\;2,\;\ldots )$ $u,\;v$

\sum _{i}\mathrm {mes} \,D_{xy}^{i}\leqslant M,

var är bilden av uppsättningen under mappningen , ${\displaystyle D_{xy))$ $D^{i}\subset D_{0}$ $\alfa$

$\mathrm {mes} \,D$ är uppsättningens platta Lebesgue-mått . $D$

Det numeriska värdet på displayvariationen kan bestämmas på olika sätt. Till exempel, om en mappning har begränsad variation, kan dess variation bestämmas med formeln: $V(\alpha )$ $\alfa$ $V(\alpha )$

V(\alpha )=\iint \limits _{-\infty }^{\quad +\infty }N(s,\;t)\,ds\,dt,

var är antalet lösningar till systemet , eller den så kallade Banach-indikatorn för kartläggningen . $N(s,\;t)$ $f(u,\;v)=s,\;\varphi (u,\;v)=t$ $\alfa$

Det visades [2] att om en kartläggning har avgränsat variation, så finns nästan överallt på det en generaliserad Jacobian , där , som är integrerbar på . Vart i $\alfa$ $D_0$ $J(P)$ ${\displaystyle P\subset D_{0))$ $D_0$

J(P)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\mathrm {mes} \,K\to 0}{\frac {\mathrm {mes} \, K_{xy}}{\mathrm {mes} \,K}},

där är en kvadrat som innehåller en punkt vars sidor är parallella med axlarna ; $K\subset D_{0}$ ${\displaystyle P\subset D_{0))$ $u,\;v$

${\displaystyle K_{xy))$ är bilden av uppsättningen ; $K$

$\mathrm {mes} \,K$ är uppsättningens platta Lebesgue-mått . $K$

Litteratur

Lavrentiev, M. A., Shabat, B. V. Metoder för teorin om funktioner för en komplex variabel. — M .: Nauka, 1987. — 688 sid.
Griffiths, F. Externa differentialsystem och variationskalkylen. — M .: Mir, 1986. — 360 sid.
Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - 7:e uppl. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 572 sid. — ISBN 5-9221-0266-4 . .

Anteckningar

↑ Banach S. Fundamenta Mathematicae. - 1925. - t. 7. - sid. 225--236.
↑ Kudryavtsev L. D. Metriska frågor om teorin om funktioner och avbildningar. - i. 1. - K., 1969. - sid. 34-108