Vektor produkt

Vektorprodukten av två vektorer i det tredimensionella euklidiska rymden är en vektor vinkelrät mot båda originalvektorerna, vars längd är numeriskt lika med arean av parallellogrammet som bildas av de ursprungliga vektorerna, och valet av två riktningar bestäms så att trippeln av vektorerna i ordning i produkten och den resulterande vektorn är rätt . Vektorprodukten av kolinjära vektorer (i synnerhet om minst en av faktorerna är en nollvektor ) anses lika med nollvektorn.

För att bestämma korsprodukten av två vektorer är det alltså nödvändigt att specificera utrymmets orientering , det vill säga vilken trippel av vektorer som är höger och vilken som är vänster. I det här fallet är det inte obligatoriskt att ställa in något koordinatsystem i det aktuella utrymmet . Speciellt för en given rymdorientering beror resultatet av en vektorprodukt inte på om det betraktade koordinatsystemet är höger eller vänster. I det här fallet skiljer sig formlerna för att uttrycka koordinaterna för vektorprodukten i termer av koordinaterna för de ursprungliga vektorerna i höger och vänster ortonormala rektangulära koordinatsystem i tecken.

Vektorprodukten har inte egenskaperna kommutativitet och associativitet . Den är antikommutativ och till skillnad från prickprodukten av vektorer är resultatet återigen en vektor.

Användbar för att "mäta" vinkelrätheten hos vektorer - modulen för tvärprodukten av två vektorer är lika med produkten av deras moduler om de är vinkelräta, och minskar till noll om vektorerna är kolinjära .

Används ofta i många tekniska och fysiska tillämpningar. Till exempel skrivs rörelsemängden och Lorentzkraften matematiskt som en korsprodukt.

Historik

Vektorprodukten introducerades av W. Hamilton 1846 [ 1] samtidigt med skalärprodukten i samband med kvaternioner - respektive som vektor och skalär del av produkten av två kvaternioner, vars skalära del är lika med noll [2 ] .

Definition

Vektorprodukten av en vektor av en vektor i det tredimensionella euklidiska rymden är en vektor som uppfyller följande krav: ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

längden på vektorn är lika med produkten av vektorernas längder och gånger sinus för vinkeln mellan dem (dvs. arean av parallellogrammet som bildas av vektorerna och ); ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
vektorn är ortogonal mot var och en av vektorerna och ; ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
vektorn är riktad så att trippeln av vektorer är rätt . ${\vec {c}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Beteckningar:

{\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\ vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}.

Anteckningar

Som definition kan du använda korsproduktuttrycket som beskrivs nedan i koordinater i det högra (eller vänster) rektangulära koordinatsystemet .

En uppsättning algebraiska egenskaper hos vektorprodukten kan också tas som den initiala definitionen.

Höger och vänster trippel av vektorer i tredimensionell euklidisk rymd

Betrakta en ordnad trippel av icke-komplanära ( linjärt oberoende ) vektorer i tredimensionellt euklidiskt rum. I ett orienterat utrymme kommer en sådan trippel av vektorer att vara antingen "höger" eller "vänster". ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Geometrisk definition

Låt oss kombinera ursprunget för vektorerna vid en punkt. En ordnad trippel av icke-samplanära vektorer i tredimensionell rymd kallas höger , om från slutet av vektorn den kortaste svängen från vektor till vektor är synlig för observatören moturs . Omvänt, om den kortaste svängen ses medurs , då kallas de tre vänster . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Handdefinition

En annan definition är förknippad med en persons högra hand, från vilken namnet är hämtat. I figuren är trippeln av vektorer , , rätt . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$

Algebraisk definition

Det finns också ett analytiskt sätt att bestämma den högra och vänstra trippeln av vektorer, vilket kräver inställning av höger eller vänster koordinatsystem i det aktuella utrymmet, och inte nödvändigtvis rektangulärt och ortonormalt .

Det är nödvändigt att göra en matris, vars första rad kommer att vara koordinaterna för vektorn , den andra - vektorn , den tredje - vektorn . Sedan, beroende på tecknet på determinanten för denna matris, kan vi dra följande slutsatser: ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

Om determinanten är positiv har trippeln av vektorer samma orientering som koordinatsystemet .
Om determinanten är negativ, har trippeln av vektorer en orientering motsatt den för koordinatsystemet .
Om determinanten är noll, är vektorerna koplanära (linjärt beroende).

Anteckningar

Definitionerna av "höger" och "vänster" trippel av vektorer beror på utrymmets orientering , men kräver inte att något koordinatsystem anges i det aktuella utrymmet , precis som definitionen av vektorprodukten i sig inte kräver detta. I det här fallet kommer formlerna för att uttrycka koordinaterna för vektorprodukten genom koordinaterna för de ursprungliga vektorerna att skilja sig åt i tecken i höger och vänster rektangulära koordinatsystem .

Helt rätt till varandra (och vänster till varandra) trippel av vektorer kallas lika orienterade .

För en given rymdorientering kallas koordinatsystemet höger ( vänster ) om trippeln av vektorer med koordinater , , är höger (vänster). $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$

Geometrisk definition och definition med hjälp av handen bestämmer själva orienteringen av rymden. Den algebraiska definitionen specificerar ett sätt att dela upp trippel av icke-samplanära vektorer i två klasser av lika orienterade vektorer, men den specificerar inte orienteringen av rummet, utan använder den redan givna - den på grundval av vilken den givna koordinaten systemet anses höger eller vänster. I det här fallet, om orienteringen av koordinatsystemet är okänd, kan du jämföra tecknet för determinanten med tecknet för determinanten för en annan trippel av icke-koplanära vektorer, vars orientering är känd - om tecknen är desamma , då är trippeln lika orienterade, om tecknen är motsatta är trippelna orienterade motsatt.

Egenskaper

Geometriska egenskaper för vektorprodukten

Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för kolineariteten hos två vektorer som inte är noll är likheten mellan deras vektorprodukt och noll.
Modulen för korsprodukten är lika med parallellogrammets yta , byggd på vektorerna reducerade till ett gemensamt ursprung och (se figur 1). $[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$ $S$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
Om är en enhetsvektor ortogonal mot vektorerna och och och vald så att trippeln är rätt, och är arean av parallellogrammet som är byggt på dem (reducerat till ett gemensamt ursprung), då är följande formel sann för vektorprodukten : $\vec{e}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}$ $S$

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.

Om är vilken vektor som helst, är vilket plan som helst som innehåller denna vektor, är en enhetsvektor som ligger i planet och ortogonal mot , är en enhetsvektor ortogonal mot planet och riktad så att trippeln av vektorer är rätt, då för alla vektorer som ligger i plan formeln är giltig ${\vec {c}}$ $\pi$ $\vec{e}$ $\pi$ ${\vec {c}}$ ${\vec {g}}$ $\pi$ ${\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}$ $\pi$ ${\vec {a}}$

[{\vec {a)],\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec { c}}|\cdot {\vec {g}}.

När du använder vektor- och skalära produkter kan du beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorerna a , b och c reducerad till ett gemensamt ursprung (se figur 2). En sådan produkt av tre vektorer kallas blandad .

V=|\langle {\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c))]\rangle |.

Figuren visar att denna volym kan hittas på två sätt: det geometriska resultatet bevaras även när de "skalära" och "vektor"-produkterna byts ut:

V=\langle [{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\ ;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]\rangle .

Värdet på korsprodukten beror på sinus för vinkeln mellan de ursprungliga vektorerna, så korsprodukten kan ses som graden av "vinkelrätt" för vektorerna, precis som prickprodukten kan ses som graden av "parallellism". Korsprodukten av två enhetsvektorer är lika med 1 (en enhetsvektor) om de initiala vektorerna är vinkelräta, och lika med 0 (nollvektorer) om vektorerna är parallella eller antiparallella.

Algebraiska egenskaper för korsprodukten

Vidare och betecknar respektive vektor- och skalärprodukten av vektorerna och . $[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$ $\langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Prestanda	Beskrivning
$[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]$	Antikommutativitet .
$[\alpha \cdot {\vec {a)],\;{\vec {b))]=[{\vec {a)],\;\alpha \cdot {\vec {b))] =\alpha \cdot [{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$	Associativitet av multiplikation med en skalär.
$[{\vec {a}}+{\vec {b)],\;{\vec {c}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {c}}] +[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]$	Fördelning med avseende på tillägg.
$[[{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c}}]+[[{\vec {b)],\;{\vec {c}}],\;{\vec {a}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],\;{\vec {b}}]={\vec {0}}$	Jacobi identitet .
$[{\vec {a)],\;{\vec {a}}]={\vec {0}}$
$[{\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]]={\vec {b}}\cdot \langle {\vec { a)),\;{\vec {c}}\rangle -{\vec {c}}\cdot \langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$	Formel "BAC minus CAB", Lagranges identitet .
$\|[{\vec {a)],\,{\vec {b))]\|^{2}+\langle {\vec {a)),\,{\vec {b))\rangle ^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\cdot \|{\vec {b}}\|^{2}$	Ett specialfall av quaternionnormens multiplikativitet .
$\langle [{\vec {a)],\,{\vec {b))],\,{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\,[ {\vec {b)],\,{\vec {c}}]\rangle$	Värdet av detta uttryck kallas den blandade produkten av vektorerna , , . $a$ $b$ $c$

Uttryck i koordinater

På rätt ortonormal basis

Om två vektorer och representeras i den högra ortonormala basen av koordinaterna $\vec a$ ${\vec {b))$

{\vec {a}}=(a_{x},\;a_{y},\;a_{z}),

{\vec {b}}=(b_{x},\;b_{y},\;b_{z}),

då har deras vektorprodukt koordinater

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{ x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).

För att komma ihåg denna formel är det bekvämt att använda den mnemoniska determinanten :

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{ x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},

var , , , eller $\mathbf {i} =(1,0,0)$ $\mathbf {j} =(0,1,0)$ $\mathbf {k} =(0,0,1)$

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j }b_{k},

var är Levi-Civita-symbolen . $\varepsilon_{{ijk}}$

På vänster ortonormal basis

Om basen lämnas ortonormal har vektorprodukten i koordinater formen

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{ z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).

För att komma ihåg, på samma sätt:

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_ {x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},

eller

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\cdot a_{j}\cdot b_{k}.

Formler för det vänstra koordinatsystemet kan erhållas från formlerna för det högra koordinatsystemet genom att skriva samma vektorer i det högra hjälpkoordinatsystemet ( ): $\vec a$ ${\vec {b))$ ${\mathbf i}'={\mathbf i},{\mathbf j}'={\mathbf j},{\mathbf k}'=-{\mathbf k}$

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\ \a'_{x}&a'_{y}&a'_{z}\\b'_{x}&b'_{y}&b'_{z}\end{vmatrix}}={\begin{ vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &-\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&-a_{z}\\b_{x}&b_{y}&-b_{ z}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_ {x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.

I ett godtyckligt affint koordinatsystem

Vektorprodukten i ett godtyckligt affint koordinatsystem har koordinater $O{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}$

$[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}[{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e} }_{3}]&[{\vec {e}}_{3},\;{\vec {e}}_{1}]&[{\vec {e}}_{1},\; {\vec {e}}_{2}]\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.$

Variationer och generaliseringar

Quaternions

Koordinaterna för en vektorprodukt i en rätt ortonormal basis kan också skrivas i kvartjoner , så bokstäverna , , är standardnotationen för orts i : de behandlas som imaginära kvartjoner. ${\mathbf i}$ ${\mathbf j}$ ${\mathbf k}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Observera att korsproduktrelationerna mellan , och motsvarar multiplikationsreglerna för kvaternionerna , och . Om vi representerar en vektor som en quaternion , då vektorprodukten av två vektorer erhålls genom att ta vektordelen av produkten av motsvarande quaternions. Prickprodukten av dessa vektorer är motsatsen till prickprodukten av dessa kvaternioner. ${\mathbf i}$ ${\mathbf j}$ ${\mathbf k}$ $i$ $j$ $k$ $(a_{1},\;a_{2},\;a_{3})$ $a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$

Transformation till matrisform

Vektorprodukten av två vektorer i koordinater i den högra ortonormala basen kan skrivas som produkten av en skevsymmetrisk matris och en vektor:

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}}]_{\times }{\vec {b}}={\begin{bmatrix }\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\, a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}},

[{\vec {b)],\;{\vec {a}}]={\vec {b}}^{T}[{\vec {a}}]_{\times }={ \begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2} \\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}},

var

[{\vec {a}}]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}& \,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\ ,\,0\end{bmatrix}}.

Låt vara lika med vektorprodukten: ${\vec {a}}$

{\vec {a}}=[{\vec {c}},\;{\vec {d}}],

sedan

[{\vec {a}}]_{\times }=({\vec {c}}{\vec {d}}^{T})^{T}-{\vec {c}} {\vec {d}}^{T}.

Denna form av notation gör det möjligt att generalisera vektorprodukten till högre dimensioner, som representerar pseudovektorer ( vinkelhastighet , induktion , etc.) som sådana snedsymmetriska matriser. Det är tydligt att sådana fysiska storheter kommer att ha oberoende komponenter i det dimensionella rummet. I det tredimensionella rymden erhålls tre oberoende komponenter, så sådana kvantiteter kan representeras som vektorer för detta rymd. $n(n-1)/2$ $n$

Denna form av notation är också ofta lättare att arbeta med (till exempel i epipolär geometri ).

Av vektorproduktens allmänna egenskaper följer det

[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {a}}={\vec {0}}

och

{\vec {a}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }={\vec {0}},

och eftersom den är skevsymmetrisk, alltså $[{\vec {a}}]_{\times }$

{\vec {b}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {b}}=0.

I denna form av notation är Lagrange-identiteten lätt bevisad (regeln "BAC minus CAB").

Tillägg till matriser

I det tredimensionella fallet kan man i koordinater på godtycklig basis definiera vektorprodukten av matriser och produkten av en matris med en vektor. Detta gör ovanstående isomorfism uppenbar och tillåter oss att förenkla många beräkningar. Låt oss då representera matrisen som en kolumn av vektorer $A$

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\times {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\times {\vec {b}}\end{bmatrix}},

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\cdot {\vec {b}}\end{bmatrix}}.

Matris-vektormultiplikation till vänster definieras på liknande sätt när den representeras som en sträng av vektorer. Transponering av en matris översätter en rad med vektorer till en kolumn med vektorer och vice versa. Det är lätt att generalisera många relationer för vektorer till relationer för vektorer och matriser, till exempel ( är en matris, , är vektorer): $A$ $A$ ${\vec x}$ ${\vec {y}}$

A\cdot ({\vec {x))\times {\vec {y)))=(A\times {\vec {x)))\cdot {\vec {y)),

A\times ({\vec {x}}\times {\vec {y}})={\vec {x}}(A\cdot {\vec {y}})-{\vec {y }} }}(A\cdot {\vec {x}}).

Efter det kan du ändra notationen för vektorprodukten:

{\vec {x}}\times {\vec {y}}=E\cdot ({\vec {x}}\times {\vec {y}})=(E\times {\vec { x)))\cdot {\vec {y)),

$E$ är identitetsmatrisen. Av detta är existensen och formen av matrisen som motsvarar vektormultiplikation med en vektor till vänster uppenbar. På liknande sätt kan man få ett uttryck för multiplikationsmatrisen med vektorn till höger. Genom att utöka operationer på vektorer till matriser komponent för komponent, representera dem som "vektorer av vektorer", generaliseras standardrelationerna för vektorer lätt till matriser. Till exempel har Stokes sats i formen: $\mathbb {R} ^{3}$

\int \limits _{{\Sigma }}\operatörsnamn {rot}\,{\mathbf {A^{T}}}\,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _{{\partial \Sigma }}{\mathbf {A}}\cdot \,d{\mathbf {r}},

där matrisens krullning beräknas som vektorprodukten av matrisen och Hamilton-operatorn till vänster (basen antas vara höger ortonormal). I denna notation är det mycket lätt att bevisa, till exempel, följande former av Stokes sats: $A$ $A$

\int \limits _{{\Sigma }}\operatörsnamn {grad}\,u\times \,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _({\partial \Sigma }}u\,d {\mathbf {r}),

\int \limits _{{\Sigma }}\left[{\mathbf {d\Sigma }};\left[\nabla ;{\mathbf a}\right]\right]=\int \limits _{{\ partiell \Sigma }}{\mathbf a}\ gånger d{\mathbf {r}}.

Mått inte lika med tre

Låt vara rummets dimension . $n$

En vektorprodukt som har alla egenskaperna hos en vanlig tredimensionell vektorprodukt, det vill säga en binär bilinär antisymmetrisk icke-degenererad kartläggning , kan endast introduceras för dimensionerna 3 och 7 . ${\mathbb {R}}^{n}\ gånger {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$

Det finns dock en enkel generalisering till andra naturliga dimensioner, med början från 3, och vid behov till dimension 2 (den senare dock på ett relativt specifikt sätt). Sedan introduceras denna generalisering, till skillnad från den omöjliga som beskrivits precis ovan, inte för ett par vektorer, utan bara för en uppsättning faktorvektorer. Det är ganska analogt med den blandade produkten , som naturligt generaliseras i dimensionellt utrymme till operationen med faktorer. Genom att använda Levi-Civita-symbolen med index kan man uttryckligen skriva en sådan -valent korsprodukt som $(n-1)$ $n$ $n$ $\varepsilon _{{i_{1}i_{2}i_{3}\ldots i_{n}}}$ $n$ $(n-1)$

P_{i}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\dotsc )=\summa _{j,k,m,\dotsc =1}^{n}\ varepsilon _{ijk\ldots }a_{j}b_{k}c_{m}\ldots =\det \left({\begin{pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf { e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots \right)\cdot \mathbf {e_{i}} ,

$\mathbf {P} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n-1}} )=\det \left({\begin {pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf {e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} , \ldots ,\mathbf {a_{n-1}} \right)={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\cdots &\mathbf {e_{n }} \\a_{1_{1}}&a_{1_{2}}&\cdots &a_{1_{n}}\\a_{2_{1}}&a_{2_{2}}&\cdots &a_{2_ {n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1_{1}}&a_{n-1_{2}}&\cdots &a_{n-1_{n}}\ slut{vmatrix}}.$

En sådan generalisering ger ett hyperdimensionellt område . $n-1$

Om du behöver införa en operation för bara två faktorer, som har en geometrisk betydelse som är extremt nära betydelsen av en vektorprodukt (det vill säga representerar ett orienterat område), så kommer resultatet inte längre att vara en vektor, eftersom kl . faktorer. Man kan introducera en bivector vars komponenter är lika med projektionerna av det orienterade området av parallellogrammet som spänns av ett par vektorer på koordinatplanen: $n\neq 3$

\ P_{{ij))({\mathbf {a,b))=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}

Denna konstruktion kallas för den yttre produkten .

För det tvådimensionella fallet, operationen

\ P({\mathbf {a,b}})=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}

kallas en pseudoskalär produkt eftersom det resulterande utrymmet är endimensionellt och resultatet är en pseudoskalär . (Den två-index yttre produkten som beskrivs ovan kan också introduceras för ett tvådimensionellt utrymme, men det är uppenbarligen ganska trivialt relaterat till den pseudoskalära produkten, nämligen den yttre produkten i detta fall representeras av en matris med nollor på diagonalen , och de återstående två off-diagonala elementen är lika med den pseudoskalära produkten och minus den pseudoskalära produkten.)

Liealgebra av vektorer

Vektorprodukten introducerar Lie-algebras struktur (eftersom den uppfyller både axiomen - antisymmetri och Jacobi-identiteten ). Denna struktur motsvarar identifieringen med tangenten Lie-algebra till Lie-gruppen av ortogonala linjära transformationer av tredimensionellt rymd. ${\mathbb {R}}^{{3}}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $så(3)$ $SO(3)$

Se även

Produkter av vektorer

Pseudoskalär produkt (endast på planet!)
Punktprodukt av vektorer
Blandad (skalär vektor) produkt av vektorer (endast i ) ${\mathbb {R}}^{{3}}$
Dubbel (vektor-vektor) produkt av vektorer (endast i ) ${\mathbb {R}}^{{3}}$
Vektorprodukt i sjudimensionellt utrymme

Övrig

Anteckningar

↑ Crowe MJ En historia om vektoranalys - utvecklingen av idén om ett vektorsystem . - Courier Dover Publications, 1994. - S. 32. - 270 sid. — ISBN 0486679101 .
↑ Hamilton WR på Quaternions; eller om ett nytt system av fantasier i algebra // Philosophical Magazine. 3:e serien. - London, 1846. - T. 29 . - S. 30 .

Litteratur

1. Kochin N.E. Vektorkalkyl och början av tensorkalkyl. USSR:s vetenskapsakademi: Förlaget "NAUKA", M. 1965.

Länkar

Flerdimensionell vektorkonst Arkiverad 5 september 2015 på Wayback Machine
Vektorprodukt och dess egenskaper. Problemlösningsexempel Arkiverad 23 februari 2011 på Wayback Machine
V. I. Gervids. Höger och vänster rotation . NRNU MEPhI (10.03.2011). - Fysiska demonstrationer. Hämtad 3 maj 2011. Arkiverad från originalet 23 december 2015. (obestämd)

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig