Harmonisk funktion

En harmonisk funktion är en reell funktion , definierad och två gånger kontinuerligt differentierbar på ett euklidiskt utrymme (eller dess öppna delmängd), som uppfyller Laplace-ekvationen : $U$ $D$

\DeltaU=0,\

där är Laplace-operatorn , dvs summan av andraderivatorna med avseende på alla rektangulära kartesiska koordinater x i ( n = dim D är rymddimensionen ). $\Delta =\summa _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$

Till exempel är den harmoniska funktionen den elektrostatiska potentialen vid punkter där det inte finns någon laddning .

Egenskaper

Maximiprincipen

Funktionen U, som är harmonisk i regionen , når sitt maximum och minimum endast vid gränsen . Således kan en harmonisk funktion inte ha ett lokalt extremum vid en inre punkt , förutom det triviala fallet med en konstant i funktionen. Funktionen kan dock vara odefinierad på gränsen, så det är mer korrekt att säga $D$ $\partiell D$ $D$ $\forall m\in D\inf _{{Q\in D}}U(Q)<U(m)<\sup _{{Q\in D}}U(Q)$

Liouvilles sats

En övertonsfunktion definierad på och avgränsad över eller under är konstant . $\mathbb {R} ^{n}$

Den genomsnittliga egenskapen

Om en funktion är harmonisk i någon boll centrerad vid punkten , är dess värde vid punkten lika med dess medelvärde längs gränsen för denna boll eller över bollen: $u$ $B(x_{0})$ $x_{0}$ $x_{0}$

u(x_{0})={\frac {1}{\mu (\partial B)))\int \limits _({\partial B))udS={\frac {1}{\mu (B) }}\int \limits _{{B}}udV

var är sfärens volym och är området för dess gräns. $\mu (B)$ $B(x_{0})$ $\mu (\partial B)$

Omvänt är varje kontinuerlig funktion som har medelegenskapen för alla bollar som ligger i en viss region harmonisk i denna region.

Differentieringsbarhet

En funktion som är harmonisk i en domän är oändligt differentierbar i den.

Harnacks ojämlikhet

Om funktionen , som är harmonisk i en k-dimensionell boll med radie centrerad vid någon punkt , är icke-negativ i denna boll, så gäller följande ojämlikheter för dess värden vid punkter inuti kulan som övervägs: , där [1 ] . $U(M)=U(x_{1},...x_{k})$ $Q_{r}$ $R$ $M_{0}$ $M$ ${{R^{{k-2}}}{{\frac {Rr}{(R+r)^{{k-1}}}}}U(M_{0})}\leq {U(M )}\leq {R^{{k-2}}{\frac {R+r}{(Rr)^{{k-1}}}}U(M_{0})}$ $r=\rho (M_{0},M)<R$

Harnacks teorem

Låta vara positiva harmoniska funktioner i någon domän . Om serien konvergerar åtminstone vid en punkt i regionen , konvergerar den likformigt inuti . $v_{n}(z)$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $D$ $D$

Harmoniska funktioner på det komplexa planet

På det komplexa planet är harmoniska funktioner nära besläktade med holomorfa funktioner . I synnerhet gäller följande påstående: för en godtycklig domän i , om detta är en holomorf funktion på , då är det en harmonisk funktion över . $h:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ $D$ $\mathbb {C}$ $f$ $D$ $h=\operatörsnamn {Re} (f)$ $D$

Det omvända påståendet gäller också. Om är en harmonisk funktion över en enkelt ansluten domän , då för en unik, upp till en konstant, holomorf över funktionen . $h$ $D$ $h=\operatörsnamn {Re} (f)$ $D$ $f$

Se även

Anteckningar

↑ A.F. Timan, V.N. Trofimov Introduktion till teorin om harmoniska funktioner. Moskva: Nauka, 1968

Litteratur

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ekvationer av matematisk fysik. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Evgrafov M. A. Analytiska funktioner. — M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1991. - 448 sid.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metoder för teorin om funktioner för en komplex variabel. — M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1973. - 749 sid.
Privalov II Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel. — M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1984. - 432 sid.
Sidorov Yu. V. , Fedoryuk M. V. , Shabunin M. I. Föreläsningar om teorin om funktioner för en komplex variabel. — M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1989. - 480 sid.
Titchmarsh E. Funktionsteori. — M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1980. - 463 sid.
Fuchs B. A. , Shabat B. V. Funktioner för en komplex variabel och några av deras tillämpningar. — M.: Nauka, 1964. — 388 sid.
Hayman W. , Kennedy P. Subharmoniska funktioner. — M.: Mir, 1980. — 304 sid.
Shabat BV Introduktion till komplex analys. I 2 volymer. — M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1976. - 720 sid.