Geometrisk Brownsk rörelse

Geometrisk Brownsk rörelse (GBM) (mer sällan exponentiell Brownsk rörelse, ekonomisk Brownsk rörelse) är en kontinuerlig slumpmässig process vars logaritm är en Brownsk rörelse ( Wienerprocess ). GBM används för att modellera prissättning på finansiella marknader och används främst i optionsprissättningsmodeller , eftersom GBM kan få vilket positivt värde som helst. GBM är en rimlig uppskattning av aktiekursernas verkliga dynamik, men den tar inte hänsyn till sällsynta händelser (extremer).

En slumpmässig process S t är GBM om den uppfyller följande stokastiska differentialekvation :

{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t))

var är den Brownska rörelsen , och ("driftparametern") och ("volatilitetsparametern") är konstanta. $W_{t}$ $\mu$ $\sigma$

För ett godtyckligt initialvärde So har denna SDE lösningen

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right ),

vad är en lognormalt fördelad stokastisk variabel med medelvärde och varians $\mathbb {E} (S_{t})=e^{\mu t}S_{0}$ $\operatorname {Var} (S_{t})=e^{2\mu t}S_{0}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right) .$

Lösningens riktighet kan fastställas med hjälp av Itôs lemma . Den slumpmässiga variabeln log( S t / S 0 ) är normalfördelad med medelvärde och varians , vilket innebär att GBM-inkrementen är normala (med hänsyn till priset), vilket ger anledning att tala om den "geometriska" processen. $(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ $\sigma ^{2}t$