Bateman-Horns hypotes

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Bateman-Horn-förmodan är ett talteoretiskt uttalande om frekvensen av primtal bland värdena i ett system av polynom . Formulerad av Paul Bateman och Roger Horn 1962. Det är en generalisering av Hardy-Littlewood gissningen om tätheten av tvillingprimtal och gissningen om primtal av formen n 2 + 1; och är också en förstärkning av H-hypotesen .

Definition

Bateman-Horns hypotes ger[ förtydliga ] den antagna tätheten av positiva heltal så att alla givna polynom har primtal. För en uppsättning av m distinkta irreducerbara polynom ƒ 1 , …, ƒ m med heltalskoefficienter är ett uppenbart nödvändigt villkor för att polynomen samtidigt genererar primtal oändligt ofta att de uppfyller Bunyakovsky-egenskapen , att det inte finns något primtal p som delar deras produkt f ( n ) med varje positivt heltal n . För om det fanns ett sådant primtal p , då att ha alla polynomvärden samtidigt prime för ett givet n skulle innebära att minst en av dem måste vara lika med p , vilket bara kan hända för ett ändligt antal värden av n , annars kommer det att finnas ett polynom med oändligt antal rötter, medan gissningen är hur man specificerar villkoren under vilka värdena samtidigt är primtal för ett oändligt antal n .

Ett heltal n är ett genererande primtal för ett givet system av polynom om varje polynom ƒ i ( n ) ger ett primtal när det ges n som ett argument. Om P ( x ) är antalet heltal som genererar primtal bland positiva heltal mindre än x , så säger Bateman-Horn-förmodan att

P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,

där D är produkten av potenserna av polynomen och C är produkten av primtalen p .

C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m))}\

med antalet lösningar för $N(p)$

f(n)\equiv 0{\pmod {p)).\

Bunyakovskys egenskap innebär för alla primtal p , så varje faktor i den oändliga produkten C är positiv. Då skulle man intuitivt förvänta sig att konstanten C i sig är positiv, och med lite arbete kan detta bevisas. (Arbete behövs eftersom vissa oändliga produkter av positiva tal är noll.) $N(p)<p$

Negativa tal

Som nämnts ovan är gissningen falsk: det enda polynomet ƒ 1 ( x ) = − x ger bara negativa tal när det ges ett positivt argument, så andelen primtal bland dess värden är alltid noll. Det finns två lika giltiga sätt att förfina hypotesen för att undvika denna svårighet:

Man kan kräva att alla polynom har positiva ledande koefficienter, så att endast ett konstant antal av deras värden kan vara negativa.
Alternativt kan man tillåta negativa ledande koefficienter, men betrakta ett negativt tal som primtal om dess absoluta värde är primtal.

Det är rimligt att tillåta negativa tal att betraktas som primtal som ett steg mot att formulera mer generella antaganden som är tillämpliga på andra talsystem än heltal, men samtidigt är det lätt att helt enkelt negera polynom, och vid behov reducera till det fall där ledande koefficienter är positiva.

Exempel

Om systemet av polynom består av ett enda polynom ƒ 1 ( x ) = x , så är värdena av n för vilka ƒ 1 ( n ) är primtal i sig själva primtal, och gissningen blir en omformulering av primtalet sats .

Om systemet av polynom består av två polynom ƒ 1 ( x ) = x och ƒ 2 ( x ) = x + 2, då är värdena på n för vilka både ƒ 1 ( n ) och ƒ 2 ( n ) är primtal siffror, då är detta helt enkelt det minsta av de två primtal i varje tvillingpar . I det här fallet reduceras Bateman-Horn-förmodan till Hardy-Littlewood-förmodan om tätheten av tvillingprimtal, enligt vilken antalet par av tvillingprimtal mindre än x är

\pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2))}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\approx 1,32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.

En analog för polynom över ett ändligt fält

När heltalen ersätts av polynomringen F [ u ] för ett ändligt fält F , kan man fråga sig hur ofta den ändliga mängden polynom fi ( x ) i F [ u ] [ x ] samtidigt får irreducerbara värden i F [ u ] när vi ersätter x element av F [ u ]. De välkända analogierna mellan heltal och F [ u ] erbjuder en analog till Bateman-Horn-förmodan om F [ u ], men analogen har fel. Till exempel visar data att polynomet

x^{3}+u\,

i F 3 [ u ][ x ] tar (asymptotiskt) det förväntade antalet irreducerbara värden när x går genom polynom i F 3 [ u ] av udda grad , men det verkar ta (asymptotiskt) dubbelt så många irreducerbara värden som förväntat när x löper över polynom av grad 2 modulo 4, medan det (bevisligen) inte tar några irreducerbara värden alls när x kör över icke-konstanta polynom med grad som är delbart med 4. En analog till Bateman-Horns antagande om F [ u ], som motsvarar numeriska data , använder en extra asymptotisk faktor som beror på värdet av d modulo 4, där d är graden av polynomen i F [ u ] över vilken x samplas .

Länkar

Bateman Paul Trevier, Horne Roger Alan (1962), En heuristisk asymptotisk formel för fördelningen av primtal , Mathematics of Computing V. 16 (79): 363–367 , DOI 10.2307/2004056
Guy, Richard Kennett (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3:e upplagan), Springer Publishing , ISBN 978-0-387-20860-2
Friedlander John, Granville Andrew (1991), Constraints on the Uniform Distribution of Primes. IV. , Proceedings of the Royal Society A T. 435 (1893): 197–204 , doi 10.1098/rspa.1991.0138 .
Soren Laing Aletia-Zomlefer, Lenny Fukshsky, Stefan Ramon Garcia (25 juli 2018), EN HYPOTES ATT HÄRSKA DEM ALLA: BATEMAN–HORN , sid. 1–45

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Sedan - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotes Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotes Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problem Goldbach Legendre Tvillingnummer Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond – Sunya Hypotes H Waringa