Bieberbachs hypotes

Bieberbach-förmodan är ett bevisat antagande som gjordes 1916 av den tyske forskaren L. Bieberbach angående den övre gränsen för expansionskoefficienterna för envärda funktioner i en Taylor-serie .

Beteckna — den öppna enhetscirkeln för det komplexa planet: . $\Delta$ $\Delta =\{z:|z|<1\}$

$S$ är mängden av alla funktioner analytiska och univalenta i , med expansion i en Taylor-serie i närheten av noll i formen: $\Delta$ $F Z)$

f(z)=z+\summa _{{n=2}}^{{\infty }}c_{n}z^{n}.

Genom hypotes, koefficienterna , och endast för Koebe funktioner i formen $|c_{n}|\leqslant n$ $c_{n}=n$

k_{\theta }(z)={\frac {z}{(1-ze^{{i\theta }})^{2}}}.

Historien om beviset för gissningen

1916 - en hypotes lades fram. Bieberbach bevisade giltigheten av gissningen för . $n=2$
1923 - hypotesen för . Bevis av Charles Löwner $n=3$ , för beviset skapades Löwners parametriska metod .
1955 - bevis för . Författare — Garabedyan $n=4$ , Schiffer. Metoden som användes i bevisningen kallades Schiffers metod.
1968, 1969 - två oberoende verk med bevis på gissningen för - Roger N. Pederson, Mitsuru Ozawa . $n=6$
1972 - gissningen för - Pederson, Schiffer bevisas. $n=5$

1925 - Littlewood bevisar det för alla . $|c_{n}|\leqslant e\cdot n$ $n$
1951 - Bazilevich , Milin Isaak Moiseevich : sambandet är bevisat . $|c_{n}|\leqslant e/2\cdot n+{\mathrm {const))$
1965 - Milin: . $|c_{n}|\leqslant 1{,}243\cdot n$
1971 - Milin: föreslår att sekvensen av logaritmiska funktionaler som konstruerats av honom (Milin functionals) är icke-positiva för någon funktion från klassen S och noterar att denna egenskap innebär bevis för Bieberbach-förmodan.
1972 - Carl FitzGerald: . $|c_{n}|\leqslant {\sqrt {7/6}}n$
1984 - bevis på riktigheten av Bieberbach-hypotesen, författare - Louis de Branges .

Länkar

Koepf W. Bieberbachs gissning, de Branges och Weinsteins funktioner och ojämlikheten mellan Askey och Gasper // The Ramanujan Journal, juni 2007, volym 13, nummer 1–3, s 103–129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2