Selbergs zetafunktionsförmodan

Selbergs gissning är en matematisk hypotes om densiteten av nollor i Riemanns zetafunktion ζ(1/2 + it ) som lagts fram av Atle Selberg .

Selbergs gissning är en förstärkning av den andra Hardy–Littlewood-förmodan . Selberg lade fram sin gissning och bevisade Hardy-Littlewood-förmodan.

Historik och formuleringar

År 1942 lade Atle Selberg fram [1] hypotesen att för ett fast villkor , tillräckligt stort och , , innehåller intervallet åtminstone reella nollor av Riemanns zeta-funktion . Selberg bevisade påståendet för fallet . $\varepsilon$ $0<\varepsilon<0,001$ $T$ $H=T^{{a+\varepsilon }}$ $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ $(T,T+H)$ $CH\ln T$ $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2))+it{\Bigr )}$ $H\geq T^{{1/2+\varepsilon }}$

Bevis på gissningen

1984 bevisade A. A. Karatsuba Selbergs gissning [2] [3] [4] .

Uppskattningarna av A. Selberg och A. A. Karatsuba är oförbättrbara i tillväxtordning för . $T\till +\infty$

År 1992 bevisade A. A. Karatsuba [ 5] att en analog till Selbergs gissning är giltig för "nästan alla" intervall , , där är ett godtyckligt litet fast positivt tal. Metoden som utvecklats av Karatsuba gör att man kan undersöka nollorna i Riemann zeta-funktionen på "ultra-korta" intervall av den kritiska linjen, det vill säga på intervall , vars längd växer långsammare än någon, till och med godtyckligt liten, grad . I synnerhet bevisade han att för alla givna nummer , med villkoret, innehåller nästan alla intervaller åtminstone nollor av funktionen . Denna uppskattning ligger mycket nära den som följer av Riemanns hypotes . $(T,T+H]$ $H=T^{{\varepsilon }}$ $\varepsilon$ $(T,T+H]$ $H$ $T$ $\varepsilon$ $\varepsilon_{1}$ $0<\varepsilon ,\varepsilon _{{1}}<1$ $(T,T+H]$ $H\geq \exp {\{(\ln T)^{{\varepsilon }}\}}$ $H(\ln T)^{{1-\varepsilon _{{1}}}}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$

Anteckningar

↑ Selberg, A. Om nollorna i Riemanns zeta-funktion (obestämd) // Shr. Norske Vid. Akad. Oslo. - 1942. - Nr 10 . - S. 1-59 .
↑ Karatsuba, A. A. På nollorna för funktionen ζ(s) på korta intervaller av den kritiska linjen // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : tidning. - 1984. - Nr 48:3 . - S. 569-584 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. Fördelning av nollor för funktionen ζ(1/2 + it) // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1984. - Nr 48:6 . - S. 1214-1224 . (ryska)
↑ Karatsuba, A. A. På nollorna i Riemanns zeta-funktion på den kritiska linjen (neopr.) // Trudy MIAN. - 1985. - Nr 167 . - S. 167-178 .
↑ Karatsuba, A. A. På antalet nollor i Riemann zeta-funktionen som ligger på nästan alla korta intervaller av den kritiska linjen // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : tidning. - 1992. - Nr 56: 2 . - S. 372-397 . (ryska)