Greve Erdős - Diophantus

En Erdős-Diophantus-graf är en uppsättning punkter på ett plan med heltalskoordinater, vars avstånd är heltal och som inte kan förlängas genom att lägga till andra punkter. På motsvarande sätt kan denna uppsättning beskrivas som en komplett graf med hörn på ett heltalsgitter , så att de parvisa avstånden mellan hörn är heltal, medan alla andra punkter i gittret har ett icke-heltalsavstånd till minst en vertex.

Grevarna av Erdős-Diophantus är uppkallade efter Pal Erdős och Diophantus av Alexandria . Grafer bildar en delmängd av uppsättningen av diofantiska figurer , som definieras som kompletta grafer på det diofantiska planet där alla kanter har heltalslängder. Då är Erdős-Diophantine-graferna exakt diofantiska figurer som inte går att förlänga. Förekomsten av Erdős-Diophantine grafer följer av Erdős-Anning-satsen , enligt vilken oändliga Diophantine figurer måste vara kolinjära på det Diophantine planet. Därför måste varje process för att expandera en icke-kollinär diofantisk figur genom att lägga till hörn nå ett stadium där figuren inte kan förlängas.

Exempel

Vilken som helst uppsättning av nollpunkter eller en punkt kan förlängas trivialt, och vilken som helst diofantuppsättning med två punkter kan utökas med punkter på samma linje. Således kan alla diofantuppsättningar med mindre än tre punkter utökas, och därför existerar inte Erdős-diofantiska grafer med mindre än tre hörn.

Genom numerisk sökning visade Koner och Kurtz [1] att Erdős-Diophantus-grafer med tre hörn existerar. Den minsta Erdős-Diophantus-triangeln har sidolängder på 2066, 1803 och 505. Den näst största Erdős-Diophantus-triangeln har sidorna 2549, 2307 och 1492. I båda fallen är summan av de tre sidorna ett jämnt tal. Brancheva bevisade att denna egenskap gäller för alla Erdős-Diophantus-trianglar, den totala längden av varje stängd bana i Erdős-Diophantine-grafen är alltid jämn.

Ett exempel på en Erdős-Diophantine-graf med fyra hörn är den kompletta grafen som bildas av hörnen på en rektangel med sidorna 4 och 3.

Anteckningar

1. ↑ Kohnert, Kurz, 2007 .

Litteratur

• Axel Kohnert, Sascha Kurz. En anteckning om Erdős-Diophantine grafer och Diophantine mattor // Mathematica Balkanica. - 2007. - T. 21 , nr. 1–2 . - arXiv : math/0511705 .
• Stancho Dimiev, Krassimir Markov. Gauss heltal och diofantiska figurer // Matematik och matematisk utbildning. - 2002. - T. 31 . — S. 88–95 . - . - arXiv : math/0203061 .