Bianchis differentiella identitet

Riemann-tensorn uppfyller följande identitet:

(1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{ \;rij}^{s}=0,

som kallas den differentiella Bianchi- identiteten (eller andra Bianchi-identiteten ) i differentialgeometri .

Bevisa med ett speciellt koordinatsystem

Vi väljer någon en godtycklig punkt på mångfalden och bevisar likhet (1) vid denna punkt. Eftersom punkten är godtycklig, kommer giltigheten av identitet (1) på hela grenröret att följa härifrån. $P$ $P$

Vid ett tillfälle kan vi välja ett speciellt koordinatsystem så att alla Christoffel-symboler (men inte deras derivator) försvinner vid den punkten. Sedan för kovarianta derivator vid en punkt vi har $P$ $P$

(2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}.

Eftersom det

(3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{ s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p},

då vid den punkt vi har $P$

(4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}.

Genom att cykliskt omordna indexen i (4) får vi ytterligare två likheter: $ijk$

(5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s},

(6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}.

Det är lätt att se att när man lägger till likheter (4), (5) och (6) på vänster sida av ekvationen, kommer den vänstra sidan av uttryck (1) att erhållas, och på höger sida, med hänsyn till kommutativitet av partiella derivator , alla termer avbryter varandra, och vi får noll.

Se även

Algebraisk Bianchi-identitet