Riemanns differentialekvation

Riemanns differentialekvation är en generalisering av den hypergeometriska ekvationen som låter dig få regelbundna singulära punktervar som helst på Riemann-sfären . Uppkallad efter matematikern Bernhard Riemann .

Definition

Riemanns differentialekvation definieras som

{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\vänster[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{za}}+{\frac {1-\beta - \beta '}{zb}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{zc}}\right]{\frac {dw}{dz}}

+\left[{\frac {\alpha \alpha '(ab)(ac)}{za))+{\frac {\beta \beta '(bc)(ba)}{zb))+{\frac { \gamma \gamma '(ca)(cb)}{zc}}\right]{\frac {w}{(za)(zb)(zc)}}=0.

Dess vanliga singularpunkter kommer att vara a , b och c . Deras grader är och , och , respektive . De uppfyller villkoret $\alfa$ $\alfa '$ $\beta$ $\beta '$ $\gamma$ $\gamma '$

\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.

Lösningar till ekvationen

Lösningar till Riemann-ekvationen skrivs i termer av Riemann P-symbol

w=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\ höger\}

Den vanliga hypergeometriska funktionen kan skrivas som

\;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\vänster\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-ab&\;\ slut{matris}}\right\}

P-funktioner lyder ett antal identiteter, varav en gör att de kan generaliseras i termer av hypergeometriska funktioner. Nämligen uttrycket

P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\ }=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma}P\left\{{ \begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\\\alpha ' -\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matris}}\right\}

låter oss skriva lösningen av ekvationen i formen

w=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }\;_{2} F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(za)(cb)}{(zb) (ca)}}\right)

Möbius transformation

P-funktionen har en enkel symmetri med avseende på Möbius-transformen , d.v.s. med avseende på gruppen GL(2, C ) eller, ekvivalent, till den konforma avbildningen av Riemann-sfären . Godtyckligt valda fyra komplexa tal A , B , C och D , som uppfyller villkoret , bestämmer relationerna $AD-BC\neq 0$

u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ och }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}

och

\zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ och }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.

Sedan jämställdheten

P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\ }=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\ ;\end{matris}}\right\}

Litteratur

Milton Abramowitz och Irene A. Stegun, red., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972)
- Kapitel 15 Hypergeometriska funktioner
  - Avsnitt 15.6 Riemanns differentialekvation