Problem med randtäckning

Problemet med bandtäckning är ett klassiskt problem inom kombinatorisk geometri . I det enklaste fallet låter det så här:

Bevisa att en cirkel med diameter inte kan täckas av remsor med en total bredd som är mindre än .

d

d

Randbeläggningsproblemet är känt som ett exempel på ett problem där det är bekvämt att gå över till högre dimensioner när man löser det.

Om bevis

I den tredimensionella versionen av problemet, istället för remsor, tas områden mellan parallella plan. Lösningen av denna version av problemet följer lätt av det faktum att området på det sfäriska lagrets laterala yta endast beror på dess höjd. I synnerhet kan en sfär inte täckas med lager med en total tjocklek som är mindre än sfärens diameter, vilket gör att en sfär inte heller kan.

Det tvådimensionella fallet följer omedelbart av denna observation. Denna lösning föreslogs av Hugo Steinhaus .

Variationer och generaliseringar

1932 antog Tarski att om en konvex figur kan täckas med ränder med en total bredd av 1, så kan den täckas med en enda remsa med bredd 1. Töger Bang fick ett jakande svar 1951. [ett]

Följande version av problemet om rändernas relativa bredd föreslogs av Bang:

Anta att en konvex kropp täcks av ett ändligt antal remsor med bredder , och det finns bredder i motsvarande riktningar. Bevisa det

K

{\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n))

v_{1},\dots ,v_{n}

K

{\frac {w_{1}}{v_{1}}}+\dots +{\frac {w_{n}}{v_{n}}}\geq 1.

Se även

Monges teorem är ett annat klassiskt exempel på ett påstående i vars bevis det är användbart att öka rummets dimension.

Anteckningar

↑ King, Jonathan L. Tre problem på jakt efter en åtgärd // Amer . Matematik. Månatlig : dagbok. - 1994. - Vol. 101 . - P. 609-628 . - doi : 10.2307/2974690 .

Litteratur

I. M. Yaglom. T. Bang - V. Fänkål. Lösning på ett problem med att täcka konvexa figurer // Matem. upplysning, ser. 2. - 1957. - Nr 1 . - S. 214-218 . (ryska)
R.Alexander. Ett problem om linjer och ovaler // The American Mathematical Monthly. - 1968. - Vol. 75 , nr. 5 . - s. 482-487 .
Bezdek, Karoly. Tarskis plankproblem återupptogs // Geometri—intuitivt, diskret och konvext. - 2013. - S. 45-64 .
Gardner, Richard. Relativa breddmått och plankproblemet // Pacific Journal of Mathematics. - 1988. - Vol. 135 , nr. 2 . - s. 299-312 .
Bang, Thøger (1950), Om täckning med parallella remsor., Mat. Tidsskr. B. : 49–53
Bang, Thøger (1951), En lösning av "plankproblemet" , Proc. amer. Matematik. soc. vol. 2 (6): 990–993, doi : 10.2307 / 2031721 ,