Alternerande serier av naturliga tal

En tecken- alternerande serie av naturliga tal är en tecken- alternerande serie vars termer modulo är på varandra följande naturliga tal och har ett alternerande tecken: 1 - 2 + 3 - 4 + .... Delsumman med nummer m i denna serie beskrivs med uttrycket:

\summa _{{n=1}}^{m}n(-1)^{{n-1}}

En sådan nummerserie divergerar , det vill säga de partiella summorna av serien tenderar inte till någon ändlig gräns . Men i mitten av 1700-talet föreslog Leonhard Euler ett uttryck som han beskrev som " paradoxalt ":

1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.

Den matematiska apparaten för att tolka detta uttryck utvecklades mycket senare. Med början 1890 formulerade Cesaro , Borel och andra matematiker rigoröst metoder för att erhålla generaliserade summor av divergerande serier och kompletterade också Eulers idéer med nya tolkningar. Många av dessa metoder för summan av en serie ger ett resultat lika med 1⁄4 . Cesaro-summering är en av få metoder som inte låter dig bestämma summan 1 − 2 + 3 − 4 + .. . För att erhålla den slutliga summan med den generaliserade summeringsmetoden för denna serie krävs alltså ett annat tillvägagångssätt, till exempel genom att använda Abel-summeringsmetoden .

Den alternerande naturliga serien är nära besläktad med Grandi-serien ( 1 − 1 + 1 − 1 + … ). Euler behandlade dessa serier som två specialfall av serierna 1 − 2 n + 3 n − 4 n + … , som han studerade för godtycklig n medan han arbetade med Basel-problemet , och fick funktionella ekvationer för de funktioner som nu är kända som Dirichlet eta funktion och zeta-Riemann funktion .

Divergens

Termerna för sekvensen (1, −2, 3, −4, ...) tenderar inte mot noll , därför, enligt det nödvändiga konvergensvillkoret , divergerar serien [1] :8 :

1 = 1 1 − 2 = −1 , 1 − 2 + 3 = 2 , 1 − 2 + 3 − 4 = −2 , 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3 , 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = -3 , …

\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n-1}n\;\;={\frac {(-1)^{m-1}(2m+1) +1}{4}}

Denna sekvens är anmärkningsvärd genom att varje heltal finns i den - till och med noll, givet den tomma delsumman - och därför är uppsättningen värden för medlemmarna i denna sekvens räknabar [2] :23 . Denna sekvens av delsummor visar att serien inte konvergerar till något speciellt tal (för vilket x kan man hitta en term efter vilken alla efterföljande delsummor kommer att ligga utanför intervallet ), och därför divergerar den alternerande naturliga serien. $[x-1,x+1]$

Heuristik för summering

Stabilitet och linjäritet

Eftersom termerna 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... lyder ett enkelt mönster, kan den alternerande naturliga serien omvandlas genom skiftning och termisk addition för att tilldela dem något numeriskt värde. Om uttrycket s = 1 − 2 + 3 − 4 + … för något vanligt tal s är vettigt, tillåter följande formella transformation oss att hävda att dess värde i någon mening är lika med s = 1 ⁄ 4 : [1] : 6 .

{\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3 -4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3 -4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[ &(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6 )+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}

Därför . Till höger illustreras denna slutsats grafiskt. $s={\frac {1}{4))$

Även om den alternerande naturliga serien divergerar och inte har någon summa i vanlig mening, ger uttrycket s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 ett naturligt svar om en sådan summa kan bestämmas. Den generaliserade definitionen av "summan" av en divergerande serie kallas summeringsmetoden , som låter dig hitta summor för någon delmängd av alla sekvenser. Det finns många generaliserade seriesummeringsmetoder (av vilka några beskrivs nedan ) som har några av egenskaperna hos konventionell seriesummering. Ovan bevisades följande: om du tillämpar någon metod för generaliserad summering, som är linjär och stabil , som gör att du kan få summan av serien 1 − 2 + 3 − 4 + … , så blir denna summa 1 ⁄ 4 . Dessutom, eftersom:

{\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+ 3-4+\cdots )&{}+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5) +\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}

denna metod ger också summan för Grandi-serien , som kommer att vara lika med 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1 ⁄ 2 .

Cauchys produkt

1891 uttryckte Ernesto Cesaro förhoppningen att analysen av divergerande serier skulle resultera i en självkalkyl , och påpekade: "Skriv redan

{(1-1+1-1+\dots )}^{2}=1-2+3-4+\ldots

och hävda att båda sidor är lika ." [3] :130 . För Cesaro var detta uttryck en tillämpning av en sats han hade publicerat ett år tidigare, som kan anses vara den första satsen i historien om summerbara divergerande serier. Detaljerna för denna summeringsmetod anges nedan ; huvudidén är vad Cauchy -produkten har på . $1/4$ $1-2+3-4+\ldots$ $1-1+1-1+\ldots$ $1-1+1-1+\ldots$

Cauchy-produkten för två oändliga sekvenser definieras även om de båda skiljer sig åt. I fall när

\sum {a_{n}}=\sum {b_{n}}=\summa {{(-1)}^{n}},

termer för Cauchy-produkten erhålls från den ändliga diagonala summan:

{\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{{k=0}}^{n}a_{k}b_{{nk}}=\summa _{{k= 0}}^{n}(-1)^{k}(-1)^{{nk}}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{{k=0}}^{n}( -1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}

Och sedan den resulterande sekvensen: $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\ldots .$

Därför summeringsmetoden som bevarar Cauchy-produkten och ger summan

1-1+1-1+\ldots ={\frac {1}{2)),

kommer också att ge summan

1-2+3-4+\ldots ={\frac {1}{4)).

Med de resultat som erhållits i föregående avsnitt innebär detta att summerbarheten är likvärdig när man använder summeringsmetoder som är linjära, stabila och bevarar Cauchy-produkten. $1-1+1-1+\ldots$ $1-2+3-4+\ldots$

Cesaros teorem är bara ett exempel. Rad

1-1+1-1+\ldots

är Cesaro summerbar i svag mening, och kallas -summable , while $(C,\;1)$

1-2+3-4+\ldots

kräver en starkare form av Cesaros teorem [1] :3 [4] :52-55 och kallas -summbar. Eftersom alla former av Cesaro-summeringsmetoden är linjära och stabila, är värdena för summorna som beräknat ovan. $(C,2)$

Privata metoder

Metoden för Cesaro och Hölder

För att hitta Cesarosumman (C, 1) för 1 − 2 + 3 − 4 + …, om den finns, måste man beräkna det aritmetiska medelvärdet av seriens delsummor. Delsummorna är:

1, -1, 2, -2, 3, -3, ...,

och deras aritmetiska medelvärde är:

1, 0, 2 ⁄ 3 , 0, 3 ⁄ 5 , 0, 4 ⁄ 7 , ….

Sekvensen konvergerar inte, så 1 − 2 + 3 − 4 + … är inte Cesaro summerbar.

Det finns två välkända generaliseringar av Cesaro-summering: den begreppsmässigt enklare är sekvensen av metoder (H, n ) för de naturliga talen n , där summan (H, 1) är Cesaro-summeringen, och de högre metoderna erhålls genom att upprepade gånger använda Cesaro-summeringsmetoden. . I exemplet ovan konvergerar de jämna medelvärdena till 1 ⁄ 2 medan de udda är noll, så det aritmetiska medelvärdet av det aritmetiska medelvärdet konvergerar till medelvärdet mellan noll och 1 ⁄ 2 , vilket är 1 ⁄ 4 [1] :9 [ 4] :17 -18 Så 1 − 2 + 3 − 4 + … är (H, 2) vilket ger summan 1 ⁄ 4 .

"H" är en förkortning för namnet på Otto Hölder , som 1882 var den första att bevisa vad matematiker nu betraktar som sambandet mellan summering med Abelmetoden och summering (H, n ); serien 1 − 2 + 3 − 4 + ... användes av honom som det första exemplet. [3] :118 [5] :10 Det faktum att 1 ⁄ 4 är summan (H, 2) av sekvensen 1 − 2 + 3 − 4 + … säkerställer att det också är en abelian summa; detta kommer att bevisas direkt nedan.

En annan ofta uttalad generalisering av Cesaro-summering är sekvensen av metoder (C, n ). Det har bevisats att summering (C, n ) och (H, n ) ger samma resultat men har olika historik. 1887 var Cesaro nära att definiera summeringen (C, n ), men begränsade sig till att ge några exempel. I synnerhet fick han summan 1 ⁄ 4 för 1 − 2 + 3 − 4 + …, genom en metod som kunde omformuleras till (C, n ), men som inte uppfattades som sådan vid den tiden. Han definierade formellt (C, n)-metoderna 1890 för att formulera sitt teorem som säger att produkten av en (C, n )-summerbar och en (C, m )-summerbar serie är (C, m + n + 1)- sammanfattas . [3] :123-128

Abel summering

I en rapport från 1749 medgav Euler att serien skiljer sig åt, men planerade att hitta summan ändå:

…när det sades att summan av serien 1−2+3−4+5−6 etc. är 1 ⁄ 4 måste det ha verkat paradoxalt. Lägger vi till 100 termer av denna serie får vi -50, men summan av 101 termer ger +51, vilket skiljer sig mycket från 1 ⁄ 4 och skiljer sig ännu mer när antalet termer ökar. Men jag har redan märkt tidigare att det är nödvändigt att ge ordet summa en vidare betydelse.... [6] :2

Euler föreslog en generalisering av begreppet "summan av en serie" flera gånger. I fallet för 1 − 2 + 3 − 4 + …, liknar hans idéer det som nu kallas Abels summationsmetod:

... det råder inte längre någon tvekan om att summan av serien 1−2+3−4+5 + etc. är 1 ⁄ 4 ; eftersom detta följer av avslöjandet av formeln 1 ⁄ (1+1) 2 , vars värde utan tvekan är 1 ⁄ 4 . Tanken blir tydligare när man betraktar den generaliserade serien 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + 5 x 4 − 6 x 5 + &c. som härrör från expansionen av uttrycket 1 ⁄ (1+ x ) 2 , till vilket denna serie kommer att vara ekvivalent efter att vi tilldelat x = 1. [6] :3, 25

Det finns många sätt att se vad åtminstone för absoluta värden | x | < 1, Euler har rätt i det

1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.

Du kan öppna den högra sidan enligt Taylor , eller tillämpa den formella processen att dividera polynom med en kolumn [7] :23 . Med utgångspunkt från vänster sida kan man använda den allmänna heuristiken ovan och multiplicera (1+ x ) med sig själv [8] , eller kvadrera serien 1 − x + x 2 − …. Euler, tydligen, föreslog också term-för-term differentiering av denna serie [6] :3, 26 .

Ur en modern synvinkel definierar inte sekvensen 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + … en funktion i punkten x = 1, så detta värde kan inte bara ersättas i det resulterande uttrycket. Eftersom funktionen är definierad för alla | x | < 1, man kan beräkna gränsen eftersom x tenderar mot ett, och detta kommer att vara definitionen av en abelsk summa:

\lim _{{x\rightarrow 1-0}}\sum _{{n=1}}^{\infty }n(-x)^{{n-1}}=\lim _{{x\rightarrow 1-0}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac 14}.

Euler och Borel

Euler tog ett annat förhållningssätt till sekvenser: Euler-transformen , en av hans uppfinningar. För att beräkna Euler-transformen börjar man med en sekvens av positiva termer - i detta fall 1, 2, 3, 4, .... Den första medlemmen i denna sekvens betecknas 0 .

Därefter måste du få en sekvens av ändliga skillnader mellan 1, 2, 3, 4, ... ; det är bara 1, 1, 1, 1, …. Det första elementet i denna nya sekvens betecknas Δ a 0 . Eulertransformen beror också på skillnaden mellan skillnader och högre iterationer, men alla skillnader mellan 1, 1, 1, 1, ... är 0. I ett sådant fall är Eulertransformen för 1 − 2 + 3 − 4 + . .. definieras enligt följande:

{\frac 12}a_{0}-{\frac 14}\Delta a_{0}+{\frac 18}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac 12}-{\frac fjorton}.

I modern terminologi kallas 1 − 2 + 3 − 4 + … Euler summable, med summan lika med 1 ⁄ 4 .

Euler summerbarhet innebär också en annan typ av summerbarhet. Representerar 1 − 2 + 3 − 4 + … som

\sum _{{k=0}}^{\infty }a_{k}=\summa _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),

en serie som konvergerar vid varje punkt erhålls:

a(x)=\summa _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!)}}= e ^{{-x}}(1-x).

Borelsumman för serien 1 − 2 + 3 − 4 + … är alltså [4] :59 :

\int _{0}^{\infty }e^{{-x}}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty}e^{{-2x}}(1-x )\,dx={\frac 12}-{\frac 14}.

Separation av skalor

Saichev och Voichynsky kom till värdet 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 genom att tillämpa två fysikaliska principer: förkastandet av infinitesimals och divisionen av skalor . Mer exakt hjälpte dessa principer dem att formulera en bred familj av " φ -summationsmetoder", som alla summerar till 1⁄4 :

Om φ ( x ) är en funktion vars första och andra derivator är kontinuerligt integrerbara på (0, ∞), så att φ(0) = 1 och gränserna φ( x ) och x φ( x ) eftersom de tenderar att +∞ är båda noll, då [9] :260-264 :

\lim _{{\delta \rightarrow 0}}\summa _{{m=0}}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\ frac 14}.

Detta resultat är en generalisering av den abeliaanska summan som erhålls genom att ersätta φ ( x ) = exp(− x ). Det allmänna påståendet kan bevisas genom att gruppera efter termpar i m -serien och omvandla uttrycket till en Riemann-integral . För det sista steget gäller motsvarande bevis för 1 − 1 + 1 − 1 + … Lagranges medelvärdessats , men kräver en starkare Lagrange-form av Taylors sats .

Generaliseringar av serien

Den trippel Cauchy-produkten för serien 1 − 1 + 1 − 1 + … ger serien 1 − 3 + 6 − 10 + …, är en alternerande serie av triangulära tal , dess Abeliska och Euler-summor är 1 ⁄ 8 . [10] :313 Cauchy-fyrdubbelprodukten av serien 1 − 1 + 1 − 1 + … ger serien 1 − 4 + 10 − 20 + …, en alternerande serie av tetraedriska tal vars abeliska summa är 1 ⁄ 16 .

En annan generalisering av serien 1 − 2 + 3 − 4 + … är möjlig i en något annan riktning: det är familjen av serien 1 − 2 n + 3 n − 4 n + … för andra värden på n . För positivt n har en sådan serie följande abelska summa:

1-2^{{n}}+3^{{n}}-\cdots ={\frac {2^{{n+1}}-1}{n+1}}B_{{n+1} }

där B n är Bernoulli-tal . För även n minskar detta till

1-2^{{2k}}+3^{{2k}}-\cdots =0.

Det senare beloppet blev föremål för förlöjligande av Niels Abel 1826:

"Divergerande rader är helt och hållet djävulens verk, och skam på alla som försöker hitta några bevis angående dem. Man kan få ut vad man vill av dem, och det är de som har skapat så mycket sorg och paradoxer. Kan något vara mer hemskt än att säga så

0 = 1 − 2n + 3n − 4n + osv.

där n är ett positivt tal. Det finns något att skratta åt här, vänner. [11] :80

Cesaros lärare, Eugène Catalan , var också avvisande mot divergerande serier. Under inflytande av katalanska karakteriserade Cesaro initialt de "villkorliga formlerna" för serierna 1 − 2 n + 3 n − 4 n + ... som "absurda uttryck", och 1883 uttryckte Cesaro den allmänt accepterade uppfattningen att dessa formler är felaktiga, men kan på något sätt vara formellt användbar. Slutligen, i sitt arbete från 1890, Sur la multiplication des séries , kom Cesaro fram till ett modernt tillvägagångssätt, som började med definitioner [3] :120-128 .

Serier undersöktes också för icke-heltalsvärden av n ; de ger Dirichlet eta-funktionen . En del av Eulers motivation att studera serierna associerade med serierna 1 − 2 + 3 − 4 + … var den funktionella ekvationen för eta-funktionen, vilket leder direkt till den funktionella ekvationen för Riemanns zeta-funktion. Euler var redan känd för att hitta värdena för dessa funktioner för positiva jämna heltal (inklusive att lösa Basel-problemet ), och försökte hitta värden för positiva udda heltal också (inklusive Apérys konstant ) - ett problem som inte har varit löst till denna dag. Det är något lättare att arbeta med Euler-metoder med den här funktionen, eftersom dess Dirichlet-serier är Abel summerbara överallt; Dirichlet-serier av zeta-funktionen är mycket svårare att sammanfatta där de divergerar [6] :20-25 . Till exempel motsvarar 1 − 2 + 3 − 4 + … i zetafunktionen serien med fixerade tecken 1 + 2 + 3 + 4 + … , som används i modern fysik , men som kräver mycket starkare summeringsmetoder.

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Hardy, GH Divergent Series . - Oxford University Press , 1949. :
↑ Beals, Richard. Analys: en introduktion (neopr.) . - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0-521-60047-2 .
↑ 1 2 3 4 Ferraro, Giovanni. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of the 20th Century Mathematics (engelska) // Archive for History of Exact Sciences : journal. - 1999. - Juni ( vol. 54 , nr 2 ). - S. 101-135 . - doi : 10.1007/s004070050036 .
↑ 1 2 3 Weidlich, John E. Summabilitetsmetoder för divergerande serier (obestämd) . — Stanford MS-avhandlingar, 1950.
↑ Tucciarone, John. Utvecklingen av teorin om sammanfattbara divergerande serier från 1880 till 1925 (engelska) // Archive for History of Exact Sciences : journal. - 1973. - Januari ( vol. 10 , nr 1-2 ). - S. 1-40 . - doi : 10.1007/BF00343405 .
↑ 1 2 3 4 Euler, Leonhard; Lucas Willis; och Thomas J Osler. Översättning med anteckningar av Eulers papper: Anmärkningar om en vacker relation mellan direkta såväl som ömsesidiga maktserier . Eulerarkivet (2006). Hämtad 22 mars 2007. Arkiverad från originalet 10 juli 2012. (obestämd) ; Verket skrevs 1749, men publicerades ursprungligen först 1968: Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les serie des puissances tant directes que réciproques (franska) // Memoires de l'academie des sciences de Berlin: magazine. - 1768. - Vol. 17 . - S. 83-106 .
↑ Lavine, Shaughan. Förstå det oändliga (neopr.) . - Harvard University Press , 1994. - ISBN 0-674-92096-1 .
↑ Vretblad, Anders. Fourieranalys och dess tillämpningar (neopr.) . - Springer, 2003. - ISBN 0-387-00836-5 .
↑ Saichev, A.I. och W. A. Woyczyński. Distribution i fysikaliska och ingenjörsvetenskapliga vetenskaper, volym 1 . - Birkhaüser, 1996. - ISBN 0-8176-3924-1 .
↑ Kline, Morris Euler and Infinite Series (engelska) // Mathematics Magazine : magazine. - 1983. - November ( vol. 56 , nr 5 ). - s. 307-314 . - doi : 10.2307/2690371 .
↑ Grattan-Guinness, Ivor Utvecklingen av grunderna för matematisk analys från Euler till Riemann . - MIT Press , 1970. - ISBN 0-262-07034-0 .

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad