Mätbart utrymme

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 augusti 2011; kontroller kräver 14 redigeringar .

Ett mätbart utrymme är ett par , där är en mängd och är någon -algebra av dess delmängder. [ett] $(X,{\mathfrak {A}})$ $X$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$

Grundläggande information

Ett mätbart topologiskt utrymme är ett mätbart utrymme där en algebra är vald genererad av någon bas av mängder av det topologiska utrymmet X. Den minimala algebra som innehåller alla öppna mängder kallas Borel- algebra för utrymmet X; i det här fallet kallas uppsättningarna Borel . $(X,{\mathfrak {A}})$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$ $\sigma$ $A\in {\mathfrak {A}}$

Ett mätbart utrymme kallas separerbart om det finns något räknebart system av mängder som separerar utrymmets punkter och genererar motsvarande algebra . Det sägs att ett system av mängder separerar punkter i rymden , om det för någon finns disjunkta mängder så att . $(X,{\mathfrak {A}})$ ${\mathfrak {C}}$ $X$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {C}}$ $X$ $x_{1},x_{2}\in X$ $A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {C))$ $x_{1}\i A_{1},x_{2}\in A_{2}$

Produkten av mätbara rum är det mätbara rummet , , där - algebra , genereras av produkten av - algebra och , d.v.s. genereras av en semiring av alla möjliga rektangulära uppsättningar av formuläret , där , . $(X_{1},{\mathfrak {A}}_{1})$ $(X_{2},{\mathfrak {A}}_{2})$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=X_{1}\ gånger X_{2}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}_{1}$ ${\mathfrak {A}}_{2}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}_{1}\times {\mathfrak {A}}_{2}$ $A_{1}\times A_{2}$ $A_{1}\in {\mathfrak {A}}_{1}$ $A_{2}\in {\mathfrak {A}}_{2}$

Låt vara något mätbart utrymme och vara en ändlig uppsättning index . Ett mätbart utrymme , där är - en multipelprodukt av utrymmet av sig själv, och - algebra är - en multipelprodukt av motsvarande - algebra , kallas ett mätbart koordinatutrymme . Punkterna i detta utrymme ges av koordinater . Om en godtycklig mängd definieras koordinatutrymmet som samlingen av alla funktioner i uppsättningen med värden i utrymmet (individuella värden kan tolkas som koordinaterna för en punkt som hör till utrymmet ). $(E,{\mathfrak {B}})$ $T$ $t=1,...,n.$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=E^{T}$ $n$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}^{T}$ $n$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ ${\displaystyle x={x(1),...,x(n)))$ $X=E^{T}$ $x(t),t\in T$ $T$ $X=E^{T}$ $x=x(t)$ $T$ $E$ $x(t)$ $x=x(t)$ $X=E^{T}$

Låta vara godtyckliga punkter i mängden , där är ett ändligt tal, och är godtyckliga delmängder av utrymmet . Massor av slag $t_{1},...,t_{n}$ $T$ $n$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ $E$

{x(t_{1})\i B_{1},...,x(t_{n})\i B_{n))

som hör till utrymmet kallas en cylindrisk uppsättning i . Med andra ord består den cylindriska uppsättningen av de och endast de punkter vars koordinater ingår i motsvarande uppsättningar . Systemet med alla cylindriska uppsättningar, för vilka ingår i rymdens -algebra , är en semiring . Ett mätbart koordinatrum är ett rum med en algebra genererad av en semiring . $X$ $X=E^{T}$ $x=x(t)$ $x(t_{1}),...,x(t_{n})$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $E$ ${\mathfrak {B}}^{T}$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=E^{T}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}^{T}$

Låt , vara en algebra genererad av en semiring av alla möjliga cylindriska mängder med godtyckliga index . Om en punkt i rymden ingår i mängden från och en annan punkt är sådan att motsvarande koordinater för dessa punkter är desamma: för alla , då ingår den också i . Varje mängd A från - algebra tillhör samtidigt någon - algebra , där - är någon räknebar mängd (beroende, generellt sett, på mängden S som övervägs). ${\mathfrak {A}}(S)$ $S\subseteq T$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}^{S}$ $t_{1},...,t_{n}\in S$ $x'=x'(t)$ $X=E^{T}$ $A$ ${\mathfrak {A}}(S)$ $x''=x''(t)$ $x'(t)=x''(t)$ $t\in S$ $x''=x''(t)$ $A$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(T)$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(S)$ $S$

Låta vara en funktion på ett mätbart utrymme med värden i ett godtyckligt utrymme . Mängden av alla mängder så att de inversa bilderna är i -algebra av ett mellanrum är en -algebra. $\phi =\phi (x)$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $Y$ ${\mathfrak {B}}_{\phi }$ $B\subseteq Y$ $\{\phi \in B\}=\phi ^{-1}(B)$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $\sigma$

Låt ett godtyckligt utrymme och vara en funktion på med värden i ett mätbart utrymme . Uppsättningen av alla uppsättningar som är förbilder från - algebra : är - algebra. $X$ $\phi =\phi (x)$ $X$ $(Y,{\mathfrak {B}})$ ${\mathfrak {A}}^{\phi }$ $A\subseteq X$ $B$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $A=\{\phi \in B\}$ $\sigma$

Låt , vara mätbara utrymmen. En funktion kallas ( ) mätbar om förbilden ingår i -algebra . Om något system av uppsättningar genererar -algebra , så är funktionen mätbar om och endast om förbilden kommer in . $(X,{\mathfrak {A}})$ $(Y,{\mathfrak {B}})$ $\phi =\phi (x)$ ${\mathfrak {A},{\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $A=\{\phi \in B\}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {C}}$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $\phi$ $B\in {\mathfrak {C}}$ ${\displaystyle \{\phi \in B\))$ ${\mathfrak {A}}$

Notera

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V. , Rozanov Yu. A. Sannolikhetsteori (Grundläggande begrepp. Limit-satser. Slumpmässiga processer) - M .: Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, Nauka Publishing House, 1973. - 496 sidor.