Invariant mått

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 juni 2018; kontroller kräver 5 redigeringar .

Invariant mått - i teorin om dynamiska system , ett mått definierat i fasrymden , associerat med ett dynamiskt system och som inte förändras över tiden under utvecklingen av tillståndet för ett dynamiskt system i fasrummet . Begreppet ett invariant mått används för att beräkna medelvärde för rörelseekvationer , i teorin om Lyapunov-exponenter , i teorin om metrisk entropi och probabilistiska fraktala dimensioner [1] .

Definition

I teorin om dynamiska system sägs ett mått på ett utrymme vara invariant för en mätbar avbildning om det sammanfaller med dess bild [2] . Per definition betyder detta det $\mu$ $(X,\Sigma)$ $f:(X,\Sigma)\till (X,\Sigma)$ $f_* \mu$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f^{-1}(A)). \qquad(*)

För reversibla mappningar kan övergången till förbilden i (*) ersättas med övergången till bilden: om mappningen också är mätbar i betydelsen , så är definitionen likvärdig $f^{-1}$ $(X,\Sigma)$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f(A)).

Men i den allmänna situationen kan definitionen inte ändras på detta sätt: Lebesgue-måttet på cirkeln är invariant under fördubblingskartläggningen , men måttet på bågen skiljer sig från måttet på dess bild . $S^{1}$ $x\mapsto 2x \mod 1$ $[0.1/3]$ $[0.2/3]$

Exempel

Display [3] . Perron-Frobenius ekvation för den har formen . Om vi ersätter detta uttryck med dess högra sida får vi: . Om du upprepar detta utbyte en gång får vi: . Detta mått är stabilt, det vill säga ett godtyckligt kontinuerligt mått kommer att konvergera till det. $x_{n+1}=2x_{n}{\bmod {1}}\equiv f(x_{n})$ $p(x)={\frac {1}{2}}\left[p\left({\frac {x}{2}}\right)+p\left({\frac {x+1 }{2}}\right)\right]$ $p(x)={\frac {1}{4}}\left[p\left({\frac {x}{4}}\right)+p\left({\frac {x+1 }{4}}\right)+p\left({\frac {x+2}{4}}\right)+p\left({\frac {x+3}{4}}\right)\right ]$ $n$ $p(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}p\left({\frac {x+ i }{2^{n}}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } \int _{0}^{1}p(x)\,dx=1$
Visa eller , [4] . Existensen av ett stabilt kontinuerligt invariant mått c bevisas på liknande sätt. $x_{n+1}=1-2|x_{n}|,x\in [-1,1]$ $x_{n+1}=1-2|2x_{n}-1|$ $x\in [0,1](1)$ $p(x)=\mathrm {const}$
Logistic Mapping , [4] . Vi ersätter , , vi får , , som kan omvandlas till formen (1). Därför, för det finns en kontinuerlig konstant sannolikhetstäthet . Sannolikhetstätheten för följer av den: . ${\displaystyle x_{n+1}=1-2x_{n}^{2))$ $x\in [-1,1]$ $x=-\cos \pi \theta$ $\theta \in [0,1]$ ${\displaystyle -\cos \pi \theta _{n+1}=1-2(\cos \pi \theta _{n})^{2}=-\cos 2\pi \theta _{n))$ $\theta _{n+1}={\begin{cases}2\theta _{n},&\theta _{n}\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2 \theta _{n},&\theta _{n}>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$ $\theta$ $p(\theta )=1$ $x$ $p(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}$