Dupins indikator

Dupins indikator eller krökningsindikatrix är en platt kurva som ger en visuell representation av krökningen på en yta vid en given punkt.

Definition och egenskaper

Dupin-indikatorn ligger i planet som tangerar ytan vid punkten och är uppsättningen av ändarna på segmenten som är avskilda från punkten i riktningen i tangentplanet och har en längd lika med , där är det absoluta värdet av ytans normala krökning vid punkten i riktningen . Dupin-indikatrixekvationen har formen $S$ $sid$ $sid$ $u$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\kappa _{u))))$ ${\displaystyle \kappa _{u))$ $S$ $sid$ $u$

|II_{p}(v)|=1,

där är vektorn för tangentplanet, a är den andra grundläggande formen av ytan , vid punkten . $v$ ${\displaystyle II_{p))$ $S$ $sid$

Dupins indikator är:

ellips , om är en elliptisk punkt på ytan, dvs. den Gaussiska krökningen är positiv. $sid$
- I synnerhet är en cirkel if en
avrundningspunkt ; $sid$

ett par konjugerade hyperboler , om är en hyperbolisk punkt på ytan, dvs. Gaussisk krökning är negativ;

sid

ett par parallella linjer, om är en parabolisk punkt på ytan, dvs. den Gaussiska krökningen är noll, men medelkurvaturen är inte noll.

sid

Historik

Dupins indikatrix är uppkallad efter Dupin , som först tillämpade denna kurva för studien av ytor (1813).

Se även

Asymptotisk kurva

Litteratur

Rashevsky P. K. Kurs för differentialgeometri, - Vilken utgåva som helst.
Finikov S.P. Kurs för differentialgeometri, - Vilken utgåva som helst.
Finikov S.P. Theory of Surfaces, - Vilken utgåva som helst.