Fréchet integral

Fréchet- integralen är en integral definierad på en uppsättning element av godtycklig natur. $F$

För att bestämma Fréchet-integralen på en uppsättning , överväger vi någon ring av uppsättningar med en räkningsbar additiv uppsättningsfunktion definierad på den med variationer och . Låta vara en icke-negativ verklig funktion av ett element i utrymmet . En funktion sägs vara summerbar med avseende på mängden om serien konvergerar under någon partition av mängden till disjunkta termer , , . $F$ $\sigma$ $T$ $\Phi (E)$ $\overline {W}(\Phi ,E)$ $\underline {W}(\Phi ,E)$ $f(x)$ $x$ $F$ $f(x)$ $\Phi$ $E\delmängd T$ $\sum _{{i}}M_{{i}}W(\Phi ,E_{{i}})$ $E$ $E_{i}$ $E_{{i}}\subset T$ $M_{{i}}=\sup _{{E_{{i}}}}f$

Fréchet-integralen för en funktion definieras som skillnaden mellan integralerna med avseende på och . $f(x)$ $\overline {W}(\Phi ,E)$ $\underline {W}(\Phi ,E)$

Nödvändiga och tillräckliga villkor för existensen av Fréchet-integralen

För att en integrerbar funktion ska vara Fréchet-integrerbar, är det nödvändigt och tillräckligt att, för varje reell , mängden skiljer sig från mängden i -ringen med någon delmängd av mängden mått noll som hör till -ringen. $f(x)$ $a$ $E_{{x}}(f(x)>a)$ $\sigma$ $T$ $\sigma$

Litteratur

Pesin I. N. Utveckling av begreppet en integral. — M .: Nauka , 1980 . — 202 sid.