Integrerad tidsserie

En integrerad tidsserie är en icke-stationär tidsserie , vars skillnader i någon ordning är en stationär tidsserie. Sådana serier kallas även differensstationära (DS-serien, Difference Stationary) . Ett exempel på en integrerad tidsserie är random walk , som ofta används vid modellering av finansiella tidsserier.

Definition

För att definiera en integrerad tidsserie är det nödvändigt att definiera en klass av tidsserier som kallas trendstationära serier ( TS -serier, trendstationära). En serie kallas en TS -serie om det finns någon deterministisk funktion f(t) så att skillnaden är en stationär process. I synnerhet omfattar TS-serien alla stationära serier. Många TS-serier är dock icke-stationära. I TS-serien ingår även till exempel en linjär (deterministisk) trendmodell där modellfelet är en stationär process (vanligtvis vitt brus). $x_t$ $x_{t}-f(t)$ $x_{t}=a+bt+\varepsilon _{t}$

En tidsserie sägs vara integrerad av ordningen k (vanligtvis skriven ) om skillnaderna i den k: te ordningens serie är stationära, medan skillnaderna i en mindre ordning (inklusive nollordning, det vill säga själva tidsserien) inte är TS- serie . I synnerhet är I(0) en stationär process. $X_{t}$ $X_{t}\sim I(k)$ $\vartriangle ^{k}x_{t}$

Exempel

Betrakta ett exempel - en slumpmässig vandringsprocess med drift (drift) - en integrerad process av första ordningen $jag (1)$

$x_{t}=a+x_{{t-1}}+\varepsilon _{t}$

där modellens slumpmässiga fel är vitt brus . De första skillnaderna i tidsserien är uppenbarligen stationära. Låt oss föreställa oss modellen i en lite annorlunda form:

$x_{t}=a+x_{{t-1}}+\varepsilon _{t}=a+a+x_{{t-2}}+\varepsilon _{{t-1}}+\varepsilon _ {t}=a+a+a+x_{{t-3}}+\varepsilon _{{t-2}}+\varepsilon _{{t-1}}+\varepsilon _{t}=.. .=x_{0}+at+\summa _{{i=1}}^{{t}}\varepsilon _{i}$

Således ser en slumpmässig promenad med drift ut som en linjär trendmodell med en mycket signifikant skillnad - variansen av modellfelet är proportionell mot tiden, det vill säga tenderar till oändlighet över tiden. Dessutom är den matematiska förväntningen på ett slumpmässigt fel noll. Även om vi tillämpar proceduren för att exkludera en linjär (deterministisk) trend på tidsserien, får vi fortfarande en icke-stationär process - en stokastisk trend. $V(\summa _{{i=1}}^{{t}}\varepsilon _{i})=t\sigma ^{2}$

Integration och enhetsrötter

Konceptet med en integrerad tidsserie är nära relaterad till enhetsrötter i autoregressiva modeller . Närvaron av enhetsrötter i det karakteristiska polynomet för den autoregressiva komponenten i tidsseriemodellen innebär att tidsserien är integrerad. Dessutom sammanfaller antalet enhetsrötter med integrationsordningen.

Se även

Litteratur

Ayvazyan S.A. Tillämpad statistik. Grunderna i ekonometri. Volym 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 sid. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometri. Inledande kurs. - M . : Delo, 2007. - 504 sid. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ekonometri. Lärobok / Ed. Eliseeva I.I. - 2:a uppl. - M. : Finans och statistik, 2006. - 576 sid. — ISBN 5-279-02786-3 .