Kvadratroten ur en matris

Kvadratroten ur en matris är en förlängning av begreppet en numerisk kvadratrot till en ring av kvadratmatriser .

Definition

En matris kallas kvadratroten av en matris om kvadraten dvs matrisprodukten är densamma som matrisen $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ ${\mathbf {B}),$ $\mathbf {BB} ,$ $\mathbf {A} .$

Existens och unikhet

Alla matriser har inte en kvadratrot. Till exempel har matrisen ingen rot . Denna matris är också en nolldelare och en kvadratrot ur noll. Således, i en matrisring, har noll oändligt många kvadratrötter. $\left({\begin{smallmatrix}0&a\\0&0\end{smallmatrix}}\right),a\neq 0$

I de fall där roten finns är den inte alltid unikt bestämd. Till exempel har en matris fyra rötter: och . $\left( \begin{smallmatrix}33&24\\ 48&57\end{smallmatrix} \right)$ $\pm \left({\begin{smallmatrix}1&4\\8&5\end{smallmatrix}}\right)$ $\pm \left({\begin{smallmatrix}5&2\\4&7\end{smallmatrix}}\right)$

Identitetsmatrisen har följande 6 rötter bland matriser som består av , och : $\bigl( \begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix} \bigr)$ $0$ $-ett$ $+1$

\left({\begin{matrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{matrix}}\right),\quad \left({\begin{matrix}\pm 1&0\\0&\mp 1\end{matrix}}\höger),\quad \left({\begin{matrix}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{matrix}}\right);

såväl som oändligt många symmetriska rationella kvadratrötter av formen:

{\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&r\\r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}} \left({\begin{matrix}s&-r\\-r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}- s&r\\r&s\end{matris}}\höger),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}-s&-r\\-r&s\end{matris}}\ höger),

där är en godtycklig Pythagoras trippel , det vill säga en trippel av naturliga tal för vilka . $(r,s,t)$ $r^2+s^2=t^2$

Komplexiteten i att extrahera en rot från en matris beror på det faktum att matrisringen är icke-kommutativ och har nolldelare, det vill säga det är inte en integritetsdomän . Inom integritetsfältet, till exempel i ringen av polynom över fältet , har varje element högst två kvadratrötter.

Positiva bestämda matriser

En positiv bestämd matris har alltid exakt en positiv bestämd rot, som kallas den aritmetiska kvadratroten [1] .

Sammantaget har en positiv-definitiv ordningsmatris med olika egenvärden rötter. Genom att expandera en sådan matris i termer av egenvektorer får vi dess representation i formen där är en diagonal matris med egenvärden . Då har kvadratrötterna av matrisen formen där är en diagonal matris med poster på diagonalen. $A$ $n$ $2^{n}$ $\mathbf {A} =\mathbf {VDV^{-1}} ,$ $\mathbf {D}$ $\lambda _{i}>0$ $A$ $\mathbf{VD^\frac12V^{-1}},$ $\mathbf {D^{\frac {1}{2))}$ $\pm\sqrt{\lambda_i}$

Litteratur

Gantmakher F. R. . Matristeori. Moskva: GITTL, 1953, s. 212-219.
Voevodin VV, Voevodin Vl. B. Encyclopedia of Linear Algebra. Elektroniskt system LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.

Anteckningar

↑ Valentin Vasilievich Voevodin, Yuri Alekseevich Kuznetsov. Matriser och beräkningar . — "Vetenskap", kapitel. ed. Fysik och matematik litteratur, 1984. - S. 88-89. — 330 s.