Fyrkantig kvadrat

Att kvadrera en kvadrat  är problemet med att dela upp en kvadrat i ett ändligt antal mindre kvadrater. I en snävare mening är det problemet med att dela upp en kvadrat i ett ändligt antal parvis ojämna kvadrater.

1936-1938 löstes det av fyra studenter vid Trinity College , Cambridge University [1] .

Alla rutor i någon lösning av detta problem har sidor som är jämförbara i längd. [2]

Terminologi

• En kvadrat uppdelad i parvis ojämna kvadrater kallas perfekt [1] .
• Ordningsföljden för en kvadrat uppdelad i sammansatta kvadrater är antalet av dess ingående kvadrater.
• En partition av en kvadrat, där ingen delmängd av vars kvadrater bildar en rektangel (utan att räkna enskilda kvadrater), kallas enkel .

Historik

• Frågan om möjligheten att dela upp en ruta i ojämna rutor skrevs ner i Scottish Book av Stanislav Ruzevich under nummer 59 [3] 1935.
• De allra första perfekta rutorna som hittats av Brooks, Smith, Stone och Tutt var av storleksordningen 69.
• 1939 hittade R. Sprague en perfekt kvadrat av storleksordningen 55, det var den första publicerade lösningen för en perfekt kvadrat [4] .
• Senare hittade T. H. Willcocks en perfekt ruta av ordning 24, som under lång tid höll ordenssmåhetsrekordet.
• År 1978 hittade den holländska matematikern A. J. W. Duijvestijn ( A. J. W. Duijvestijn ) med hjälp av en dator en uppdelning av en kvadrat i 21 rutor, bland vilka det inte finns några likadana (se fig.). Han bevisade också följande påståenden:
  • Det finns ingen perfekt kvadrat av mindre ordning.
  • Partitionen han hittade är den enda möjliga för en partition av 21:a ordningen.

Smith diagram

En nyckelroll i att lösa kvadreringsproblemet spelades av förslaget från Brooks, Smith, Stone och Tat 1936-1938 [ 1] för analysen av ett diagram som kallas Smith -diagrammet , som tilldelar en elektrisk krets till varje partition av en kvadrat (eller rektangel) . Detta gjorde det möjligt att tillämpa den välutvecklade teorin om elektriska kretsar för att lösa problemet med kvadrering.

Vi kan anse att en rektangel är en ledare gjord av folie med konstant resistivitet. Om en ström är ansluten längs baserna, är resistansen hos rektangeln direkt proportionell mot höjden och omvänt proportionell mot rektangelns bredd. Därför kan vi anta att motståndet för varje kvadrat är enhet.

Varje horisontellt segment i schemat för uppdelning av en kvadrat motsvarar en "terminal" i denna krets, och varje kvadrat av uppdelningen motsvarar en ledare som förbinder två "terminaler". Styrkan hos strömmen som flyter genom ledaren är lika med längden på sidan av motsvarande kvadrat. Eftersom vi kan anta att resistansen för varje kvadrat är lika med ett, beter sig en sådan elektrisk krets som en "riktig"; i synnerhet följer Kirchhoffs regler för strömmar i en krets.

Antal kvadrater

	Antal perfekta perfekta kvadrater av ordning		Antal perfekta perfekta kvadrater av ordning
21	ett	28	3001
22	åtta	29	7901
23	12	trettio	20 566
24	26	31	54 541
25	160	32	144 161
26	441	33	378 197 [5]
27	1152

Antalet enkla perfekta kvadrater av ordning n upp till symmetrier ges i sekvensen A006983 i OEIS [6] .

År 2013 hittades antalet kvadrater i storleksordningen 32 ( 144 161 ) [6] [5] .

I juni 2014 fick Jim Williams alla 378 197 perfekta perfekta kvadrater av ordningen 33 [5] .

Cube cubing

Att "kuba en kub", det vill säga att dela en kub i ett ändligt antal parvis ojämna kuber, är omöjligt. Beviset för detta faktum gavs av Brooks, Smith, Stone och Tutt.

Antag att den önskade partitionen för kuben finns.

Betrakta en av kubens ytor; uppenbarligen, utan förlust av allmänhet, kan vi välja den nedre ytan.

På den nedre ytan finns ojämna kuber, med deras nedre kanter delar ytan i ojämna rutor.

Låt oss hitta den minsta kvadraten av partitionen på den nedre ytan. Uppenbarligen kan denna kvadrat inte gränsa till kanten av kuben, eftersom den begränsas av sidorna på större kvadrater, därför måste den placeras någonstans innanför ansiktet.

Tänk nu på ovansidan av denna lilla kub. Eftersom det är tänkt att vara den minsta kuben på undersidan av kuben är den omgiven av högre kuber. Därför ingriper inte en enda intilliggande kub på dess övre yta. Följaktligen delar de mindre kuberna som står på denna yta igen den övre ytan av denna kub i ojämna rutor, och den minsta kvadraten på skiljeväggen på den övervägda kubens övre yta igen kan inte höra till kanten av kuben och är placerad inuti ansikte.

Fortsätter vi med denna resonemangsprocess kommer vi fram till en motsägelse, som bevisar sats [1] .

Hyperkubering av en hyperkub

Det är också lätt att bevisa satsen om omöjligheten av "hyperkubhyperkub" för hyperkuber av alla dimensioner större än 3. Faktum är att för varje dimension n måste partitionshyperkuberna som gränsar till någon ( n  − 1)-dimensionell aspekt av den ursprungliga hyperkuben dela upp denna aspekt i ett ändligt antal parvis ojämna ( n  − 1)-dimensionella hyperkuber. För n  = 4 är "hyperkubing" omöjligt, eftersom det måste generera "kubning" av 3-dimensionella hyperytor av den ursprungliga 4-dimensionella hyperkuben. Genom induktion på n kan man dra slutsatsen att "hyperkubering" är omöjlig för alla n  > 3.

Länkar

• Video på den engelskspråkiga populärvetenskapliga matematiska YouTube-kanalen Numberphile Arkiverad kopia av 12 augusti 2020 på Wayback Machine

Litteratur

• Gardner M. , Matematiska pussel och underhållning . Per. från engelska av Yu Danilova. Ed. "Onyx", Moskva, 1994, s. 305-326.
• Yaglom I. M. Hur man klipper en fyrkantig arkivkopia av 27 januari 2021 på Wayback Machine Mathematical Library-serien M., Nauka, 1968—112 s.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Catalog of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 tom 25 , Eindhoven Univ. Teknik, Avd. of Math., Rapport 92-WSK-03, nov. 1992.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26 , Eindhovens tekniska universitet, fakulteten för matematik och datavetenskap, EUT-rapport 94-WSK-02, december 1994.
• Brooks, R.L., Smith CAB, Stone, A.H., Tutte, W.T. The Dissection of Rectangles into Squares , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940
• Gardner Martin , Squaring the square , i The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
• Meschkowski H. Unsolved and Unsolvable Problems in Geometry, Oliver och Boyd, 1966, Edinburgh, pp. 9-102.
• Stein S. Mathematics: The Man-Made Universe, (2nd ed.) Freeman and Co., 1969, San Francisco, pp. 92-124.
• Tutte W. Squaring the Square, Canadian journal of Mathematics, 1950, s. 197-209.
• Tutte W. The Quest of the Perfect Square, The American Mathematical Monthly , 1965, Vol. 72, nr. 2, sid. 29-35.

Anteckningar

1. ^ 1 2 3 4 Brooks, R.L.; Smith, CAB; Stone, A.H.; och Tutte, W.T. The Dissection of Rectangles into Squares , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940.
2. ↑ Gardner, M. , Math pussel och roligt . Per. från engelska av Yu Danilova. Ed. "Onyx", Moskva, 1994, s. 305-326. . Hämtad 12 augusti 2020. Arkiverad från originalet 17 januari 2021. (obestämd)
3. ↑ Den skotska boken  (ospecificerad) / Stan Ulam. — 1958.
4. ↑ 5. Mot en teori för kombinatoriska spel . American Mathematical Society . Hämtad 30 juni 2017. Arkiverad från originalet 29 augusti 2017.  (obestämd) .
5. ↑ 1 2 3 Stuart Anderson. Simple Perfect Squared Squares (SPSSs); Order 21 till 33 och högre order . Hämtad 30 november 2015. Arkiverad från originalet 8 december 2015.  (obestämd) .
6. ↑ 1 2 OEIS -sekvens A006983 = Antal enkla perfekta kvadrater av ordning n upp till symmetri.

Länkar

• Ross Honsberger. Square the Square . Matematiska fakulteten, University of Waterloo. Arkiverad från originalet den 16 oktober 2015. (obestämd)
• Re: Dissektion av kvadrat (eller rektangel) till ojämna kvadrater . sci.math, rec.puzzles (11 april 1998). Arkiverad från originalet den 19 april 2003. (obestämd)
• Kvadra torget . Byron Schmuland. Hämtad 26 februari 2005. Arkiverad från originalet 24 september 2015. (obestämd)
• Karl Scherer. Fyrkantig rektangel (inte tillgänglig länk) . Arkiverad från originalet den 21 augusti 2014. (obestämd) 
• Karl Scherer. Square The Square (inte tillgänglig länk) . Arkiverad från originalet den 19 augusti 2014. (obestämd) 

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)