Samintegration

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 juli 2019; kontroller kräver 10 redigeringar .

Samintegration är en egenskap hos flera icke-stationära ( integrerade ) tidsserier , som består i att det finns några av deras stationära linjära kombinationer . Konceptet med kointegration föreslogs först av Granger 1981. I framtiden utvecklades denna riktning av Angle , Johansen, Philips och andra.

Kointegration är en viktig egenskap hos många ekonomiska variabler, vilket innebär att trots den slumpmässiga (dåligt förutsägbara) karaktären av förändringen av enskilda ekonomiska variabler, finns det ett långsiktigt samband mellan dem, vilket leder till någon gemensam, sammankopplad förändring. I själva verket talar vi om en felkorrigeringsmodell (ECM – Error Correction Model) – då kortsiktiga förändringar korrigeras beroende på graden av avvikelse från det långsiktiga sambandet mellan variabler. Detta beteende är inneboende i kointegrerade tidsserier.

Definitioner

Samintegration. Samintegreringsekvation

Formell definition. Låt vara en uppsättning tidsserier, som var och en är en integrerad process av första ordningen . Dessa tidsserier sägs vara kointegrerade om det finns en vektor så att tidsserien är en stationär process , dvs. Vektorn kallas den kointegrerande vektorn . Uppenbarligen förändrar inte multiplikation av en samintegrerande vektor med ett godtyckligt tal den kointegrerande naturen hos denna vektor (eftersom multiplikation med ett godtyckligt tal inte ändrar processens stationaritet). Därför kan kointegrationsvektorn parametriseras enligt följande . I det här fallet får vi kointegrationsekvationen (CE) : $y_{t}=(y_{{1t}},y_{{2t}},...,y_{{kt}})^{T}$ $y_{{it}}\sim I(1)$ $a=(a_{1},a_{2},...,a_{k})^{T}$ $\varepsilon _{t}=a^{T}y_{t}=\summa _{{i=1}}^{k}a_{i}y_{{it}}$ $\varepsilon _{t}\sim I(0)$ $a$ $a=(1,-a_{2},-a_{3},...,-a_{k})^{T}$

$y_{{1t}}=\summa _{{i=2}}^{k}a_{i}y_{{it}}+\varepsilon _{t}~,~~~\varepsilon _{t}$ -stationär process

Samintegrationsekvationen för icke-stationära serier är en analog till regressionsmodellen för stationära serier.

kointegrationsutrymme. Samintegreringsrankning

Det är också uppenbart att om det finns flera kointegrerande vektorer, så kommer en godtycklig linjär kombination av dessa vektorer också att vara en kointegrerande vektor (eftersom en linjär kombination av stationära serier också är en stationär serie). Följaktligen talar man om rummet för samintegrerande vektorer - det kointegrerande rummet . Dimensionen av detta utrymme kallas kointegrationsgraden . Rangen för kointegration är faktiskt det maximala antalet linjärt oberoende kointegrationsvektorer eller kointegrationsekvationer. Om graden av kointegration är lika med antalet tidsserier, är dessa tidsserier stationära. En kointegrationsrankning med noll betyder ingen kointegration.

Om tidsserierna är kointegrerade kan kointegrationsekvationen för sådana serier uppskattas med den vanliga minsta kvadratmetoden. I det här fallet erhålls inte bara konsekventa uppskattningar (som i fallet med klassisk regression), utan superkonsistenta uppskattningar av modellparametrarna (en signifikant högre konvergenshastighet till det verkliga värdet med en ökning av urvalsstorleken). I frånvaro av kointegration kan konstruktionen av regressionsmodeller av icke-stationära (integrerade) tidsserier sinsemellan leda till falsk regression . Detta beror på det faktum att i det allmänna fallet (när det inte finns någon kointegration) är ett slumpmässigt fel i en regressionsmodell som liknar kointegrationsekvationen inte en stationär process. Detta innebär att de resulterande uppskattningarna av parametrarna för sådana modeller, såväl som uppskattningarna av de statistiska egenskaperna hos dessa uppskattningar av parametrarna för modellerna, kan vara partiska, inkonsekventa och ineffektiva. Därför kan man enligt provstatistik göra ett felaktigt antagande om förekomsten av en koppling där det faktiskt inte finns någon.

Generalisering

Begreppet kointegration medger följande generalisering. Låt vara tidsserier, som var och en är en integrerad process av ordning p, dvs. Då kallas dessa tidsserier för kointegrerade av ordningen p, q (skriven ) om det finns en vektor som inte är noll så att den linjära kombinationen är en process . Den klassiska definitionen av kointegration är ett specialfall för , d.v.s. $y_{t}^{i},i=1..k$ $y_{t}^{i}\sim I(p)$ $y_{t}\sim CI(p,q)$ $a$ $a^{T}y$ $I(pq),~0<q\leqslant sid$ $p=q=1$ $CI(1,1)$

Angle-Granger test

Testet baseras på en kointegrationsekvation uppskattad med den vanliga minsta kvadratmetoden . Tanken med testet är att om resterna av denna modell är icke-stationära (har en enhetsrot ), så finns det ingen tidsseriekointegration. Nollhypotesen är frånvaron av kointegration, det vill säga närvaron av en enhetsrot i modellens fel (kointegrationsekvationen). För att testa enhetsrothypotesen används statistiken för det utökade Dickey-Fuler-testet , men till skillnad från det klassiska fallet med detta test, i det här fallet är de kritiska värdena för statistiken annorlunda, de är större i absolut värde . Kritiska värden erhålls av McKinnon och Davidson genom simulering . De 1% asymptotiska (oändlig urvalsstorlek) kritiska statistiska värdena ges nedan som ett exempel.

Modelltyp\Antal variabler	2	3	fyra	5	6
Modell med konstant	-3,90	-4,29	-4,64	-4,96	-5,25
Modell med konstant och trend	-4,32	-4,66	-4,97	-5,25	-5,52

Johansens tillvägagångssätt

För enstaka ekvationer består integrationstestning i att kontrollera likheten i närvaron av enhetsrötter i motsvarande autoregression. I fallet med kointegration kan vektorautoregression spela en liknande roll . I allmänhet är proceduren för att testa kointegration enligt följande. Vektormodellen för autoregression VAR(p) beaktas

$y_{t}=\summa _{{i=1}}^{p}A_{i}y_{{ti}}+Bx_{t}+\varepsilon _{t}$

Denna modell kan representeras som en vektorfelkorrigeringsmodell (VEC, Vector Error Correction)

$\vartriangle y_{t}=\Pi y_{{t-1}}+\summa _{{j=1}}^{{p-1}}\Gamma _{j}\vartriangle y_{{tj}} +Bx_{t}+\varepsilon _{t}~,~\Pi =\sum _{{i=1}}^{p}A_{i}-I~,~\Gamma _{j}=-\ summa _{{i=j+1}}^{p}A_{i}$

Abstraherat från de exogena variablerna x visar denna representation att om de första skillnaderna i serien är stationära enligt antagande, så måste - också vara stationära. Enligt Granger-representationssatsen, om kointegreringsgraden är mindre än antalet variabler, kan matrisen P representeras som en produkt av två matriser , där den andra matrisen är matrisen av kointegrerande vektorer. Matrisens rang bestämmer graden av kointegration. Johansen visade att problemet med att hitta parametrarna är likvärdigt med problemet att hitta egenvektorerna för en viss matris. För att testa kointegrationsrankningen används sannolikhetsförhållandetestet, vars statistik i detta fall reduceras till en funktion av egenvärdena för denna matris. Nollhypotesen är att anta att kointegrationsgraden är lika med det givna värdet på r. Den alternativa hypotesen i Johansens synsätt är att kointegrationsgraden är större än den givna. Motsvarande LR-statistik är ( spårstatistik ) $y_{t}$ $\Pi y_{{t-1}}$ $\alpha \beta ^{T}$ $\Pi$ $\beta$

$LR_{r}^{{tr}}=n\summa _{{i=r+1}}^{p}\ln(1-\lambda _{i})$

där -i-te största egenvärdet för en viss matris. $\lambda _{i}$

Johansens sekventiella procedur är att börja testa hypotesen från rang 0 till rang k-1. Om hypotesen inte förkastas för rang 0, anses rangordningen vara noll (ingen kointegration). Och så vidare upp till k-1. I det senare fallet är den alternativa hypotesen att originalserierna är stationära.

Det är också möjligt att testa nollhypotesen mot alternativet att rangen är en mer än nollhypotesen. I detta fall tillämpas statistiken för det maximala egenvärdet

$LR_{r}^{{max}}=n\ln(1-\lambda _{{r+1}})$

Fördelningen av LR-statistiken beror på närvaron av deterministiska trender i data och i kointegrationsekvationen. Därför bör du testa för flera alternativ: det finns inga deterministiska trender i data (varken en konstant och en trend ingår i CE, eller bara en konstant ingår), data har en linjär deterministisk trend (i CE en konstant utan en trend eller en konstant och en trend), har data en kvadratisk trend (i CE ingår en konstant och en linjär trend).

Se även

Granger test för orsakssamband

Litteratur

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrics. Inledande kurs. - M . : Delo, 2007. - 504 sid. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Nosko V.P. Ekonometri. Introduktion till tidsserieregressionsanalys . - M. , 2002. - 273 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 125567779 GND : 4347470-6 J9U : 987007561289705171 LCCN : sh95008552