Äntligen genererad förlängning

En ändligt genererad $K$ fältförlängning är en förlängning av fältet så att det finns element i så att . Elementen är algebraiska bråk , där och är polynom. Om , då kallas tillägget enkel. $E$ $K$ $E$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n))$ $E=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $E$ ${\frac {f(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}{g(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n)))))$ $f$ $g$ $n=1$ $K(\alfa)$

Egenskapen för ändligt genererade tillägg

Om en ändligt genererad förlängning är algebraisk över , då är den finit . $E=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $K$

För en enkel algebraisk förlängning följer detta av det faktum att uppsättningen av värden för polynom från inte bara är en ring utan också ett fält. Verkligen, låt . Då är polynomet inte delbart med — det minimala polynomet över . Men är ett irreducerbart polynom , och därmed coprime. Detta innebär att det finns polynom över och sådana att . Att ersätta i denna jämlikhet vi har , det vill säga är inverterbar och är det önskade fältet . På samma sätt, dividerat med , får vi att om har en examen , alltså $E=K(\alpha )$ $\alfa$ $K[\alpha ]$ $g(\alpha )\neq 0$ $g(x)$ $p(x)$ $\alfa$ $K$ $p(x)$ $g(x)$ $p(x)$ $yxa)$ $b(x)$ $K$ $a(x)p(x)+b(x)g(x)=1$ $\alfa$ $b(\alpha )g(\alpha )=1$ $g(\alfa)$ $K[\alpha ]$ $K(\alfa)$ $f(x)$ $p(x)$ $p(x)$ $n$ $[E:K]=n$

För en förlängning från flera element har vi: . Element som är algebraiska över förblir så över ett stort fält . Därefter tillämpar vi satsen på tornet av ändliga förlängningar. $K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})\ldots (\ alfa _{n})$ $\alpha_i$ $K$ $K(\alpha _{1})\ldots (\alpha _{i-1})$

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967

Äntligen genererad förlängning

Egenskapen för ändligt genererade tillägg

Litteratur

Se även