En specifik kategori i matematik är en kategori utrustad med en strikt funktion i kategorin av uppsättningar . Tack vare denna funktion kan du arbeta med objekt i denna kategori på ett sätt som liknar att arbeta med uppsättningar med extra struktur, och representera morfismer som funktioner som bevarar ytterligare struktur. Många kategorier har en uppenbar tolkning av konkreta kategorier, såsom kategorin av grupper, kategorin topologiska rum och kategorin av egentliga mängder. Å andra sidan finns det ospecificerade kategorier; till exempel är homotopikategorin för topologiska utrymmen icke-inkrementell, det vill säga den tillåter inte en strikt funktor i kategorin uppsättningar.
En konkret kategori är ett par ( C , U ) så att:
Functor U är en glömsk funktor som associerar ett kategoriobjekt med dess "bäraruppsättning".
En kategori C är konkretiserbar om det finns en strikt funktion från den till kategorin av uppsättningar. I synnerhet är alla små kategorier instansierbara: en funktion U kan definieras som en funktion som skickar ett objekt b av kategori C till uppsättningen av alla pilar f : a → b (för alla möjliga objekt a ), och en morfism g : b → c av kategori C till en morfism U ( g ): U ( b ) → U ( c ), som mappar pilen f : a → b till kompositionen gf : a → c .
I motsats till intuition är "konkrethet" inte en egenskap som en kategori kan ha eller inte, utan en ytterligare struktur som den kan förses med, och en kategori kan också tillåta flera strikta funktioner i en uppsättning . Men i praktiken är denna funktion vanligtvis uppenbar.
Kravet på att U ska vara rigorös innebär att den mappar olika morfismer med fixerad bild och preimage till olika funktioner på set. Den kan dock "limma" olika kategoriobjekt, och om den gör det kommer den att mappa olika morfismer till en enda funktion.
Till exempel, om S och T är två olika topologier på samma uppsättning X , då är ( X , S ) och ( X , T ) olika objekt i kategorin Top of topological spaces and continuous maps, men de är mappade till samma ställ in X under åtgärden glömsk funktion Top → Set . Identitetsmorfismerna ( X , S ) → ( X , S ) och ( X , T ) → ( X , T ) förstås dessutom som olika morfismer i Top , men de motsvarar samma funktion, nämligen identitetsfunktionen på X .
En kategori kallas icke-inkrementell om det inte finns någon strikt funktion från den till kategorin av uppsättningar.
Till exempel är kategorin hTop , vars objekt är topologiska rum och vars morfismer är klasser av homotopiska funktioner, inte instantierbar. Även om objekten i denna kategori kan representeras som mängder, är morfismerna i den inte funktioner, utan snarare klasser av funktioner. Frånvaron av en strikt funktionär från hTop i Set bevisades av Peter Freud 1970 . Tidigare har det visat sig att kategorin av alla små kategorier och naturliga omvandlingar är icke-konkret.