Eisenstein-kriteriet

Eisensteinkriteriet är ett kriterium för irreducerbarheten av ett polynom , uppkallat efter den tyske matematikern Ferdinand Eisenstein . Trots det (traditionella) namnet är det just ett tecken, det vill säga ett tillräckligt villkor - men inte alls nödvändigt, som man kan anta, utifrån den matematiska betydelsen av ordet " kriterium " (se nedan).

Formulering

Låt vara ett polynom över faktorringen R ( ), och för vissa primtal är följande villkor uppfyllda: $a(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$ $n>0$ $sid$

$p\nmid a_{n}$ (dvs inte delbart med ), $en$ $sid$
$p\mid a_{i}$ för alla i från 0 till n-1,
$p^{2}\nmid a_{0}$ .

Då är polynomet irreducerbart över F , fältet av bråkdelar av ringen R . $yxa)$

Detta kriterium tillämpas oftast när R är ringen av heltal och F är fältet för rationella tal . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Bevis

Antag motsatsen: , där och är polynom över F av icke-noll grader. Det följer av Gauss lemma att de kan betraktas som polynom över R. Vi har: $a(x)=f(x)g(x)$ $f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{k}x^{k}$ $g(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{m}x^{m}$

$a_{0}=b_{0}c_{0}$

Genom antagande , och R är faktoriell, så antingen eller , men inte båda, eftersom . Låt och . Alla koefficienter kan inte vara delbara med , eftersom det annars skulle vara sant för . Låta vara det lägsta index som inte är delbart med . Detta innebär: $p\mid a_{0}$ $p\mid b_{0}$ $p\mid c_{0}$ $p^{2}\nmid a_{0}$ $p\mid b_{0}$ $p\nmid c_{0}$ $f(x)$ $sid$ $yxa)$ $i$ $bi}$ $sid$

$a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{{i-1}}c_{1}+...$

Sedan och för alla då , men detta är omöjligt, eftersom av villkor och . Teoremet har bevisats. $p\mid a_{i}$ $p\mid b_{j}$ $j<i$ $p\mid b_{i}c_{0}$ $p\nmid c_{0}$ $p\nmid b_{i}$

Exempel

Polynomet är irreducerbart över $x^{3}+2$ ${\mathbb Q}.$
Cirkeldelningspolynomet är irreducerbart. I själva verket, om det är reducerbart, då polynomet är också reducerbart , och eftersom alla dess koefficienter, förutom den första, är binomiska, det vill säga de är delbara med , eftersom , och den sista koefficienten är inte heller delbar med Eisensteins kriterium , det är irreducerbart, tvärtemot antagandet . $f(x)=x^{{p-1}}+x^{{p-2}}+...+1$ $f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{(x+1)-1}}=x^{{p-1}}+C_{p}^{ 1}x^{{p-2}}+...C_{p}^{{p-1}}$ $sid$ $p|C_{p}^{k}={\frac {p(p-1)...(p-k+1)}{k!)}$ $C_{p}^{{p-1}}=p$ $p^{2},$
Polynomet över är ett exempel som visar att Eisensteins kriterium ( "det finns ett p så att ...; då är polynomet irreducible" ) endast är ett tillräckligt, men inte ett nödvändigt villkor. Faktum är att den enda primtalsdelaren för den fria termen är , men 4 är delbar med - så Eisenstein-kriteriet är inte tillämpligt här. Å andra sidan, som ett 3:e gradens polynom utan rationella rötter, är detta polynom irreducerbart. $x^{3}+4$ $\mathbb {Q}$ $p=2$ $2^{2}$