Kritisk dynamik

Kritisk dynamik är en gren av teorin om kritiskt beteende och statistisk fysik som beskriver de dynamiska egenskaperna hos ett fysiskt system vid eller nära en kritisk punkt . Det är en fortsättning och generalisering av kritisk statik, vilket gör att man kan beskriva kvantiteterna och egenskaperna hos ett system som inte kan uttryckas endast i termer av samtidiga jämviktsfördelningsfunktioner . Sådana kvantiteter är till exempel transportkoefficienter, relaxationshastigheter, multi-temporala korrelationsfunktioner och svarsfunktioner på tidsberoende störningar.

Liksom all statistisk fysik handlar kritisk dynamik om ett enormt eller till och med oändligt antal frihetsgrader . Utvecklingen av sådana system i tid kännetecknas av olika stokastiska (slumpmässiga) processer: termisk rörelse och kollision av molekyler i ett gassystem, omorientering av gitterspinn i ett fast ämne, uppkomsten och interaktionen av turbulenta virvlar i ett vätskeflöde. Formuleringen och lösningen av sådana problem utförs med hjälp av kvantfältteorins formalism , som ursprungligen skapades för behoven hos högenergifysik och elementarpartiklar. Processens stokasticitet modelleras genom att introducera ytterligare en slumpmässig term i de dynamiska ekvationerna - "brus" med en känd (vanligtvis Gaussisk ) fördelning.

Kort beskrivning av systemet

Uttalande av problem med stokastisk dynamik

Betecknar för uppsättningen av rumsliga koordinater och index för systemet, för hela uppsättningen av fält i systemet, kan vi skriva ner standardformuleringen av problemet med stokastisk dynamik. $x$ $\phi(x)$

\partial _{t}\phi (x)=U(x;\phi )+\eta (x),\ \ \ <{\hat {\eta }}(x){\hat {\eta }}(x')>=D(x,x')

Här är U en given t-lokal funktion, en slumpmässig extern kraft som modellerar alla snabbt föränderliga processer i systemet. Den antas ha en Gauss-fördelning med ett medelvärde på noll och en given korrelator D. Fördröjningsvillkoret och vissa randvillkor är också uppfyllda, som ibland anses vara noll $\eta$ $t->-\infty$

Detta är den mest allmänna formen av evolutionsekvationen i problem med stokastisk dynamik. Naturligtvis kommer det inte att ha en enkel lösning för alla val av funktionell U och korrelator D.

Nedan ger vi flera exempel på problem med stokastisk dynamik.

Brownsk rörelse

Låt oss skriva ekvationerna för den Brownska rörelsen på språket för stokastisk dynamik:

$\partial _{t}r_{i}(t)=\eta _{i}(t),\ \\ <{\hat {\eta}}_{i}(t){\hat { \eta }}_{k}(t')>=2\alpha \delta _{ik}\delta (tt')$

Här , U = 0, bär konstanten innebörden av diffusionskoefficienten. $\phi (x)\equiv r_{i}(t)$ $\alfa$

Navier-Stokes ekvation

Den dynamiska Navier-Stokes-ekvationen kan också formuleras på detta språk. De kritiska uppgifterna för ekvationen kommer att vara uppgiften att beskriva turbulens , inklusive utvecklad turbulens (för system med stora värden på Reynolds-tal), konstruera fördelningsfunktionen för virvlar över vågvektorn (i Fourierrepresentationen av hastighetsfältet) och testa den fenomenologiska teorin om Kolmogorov.

\partial _{t}\phi _{i}(x)=\nu \Delta \phi _{i}(x)-\partial _{i}P-\phi _{j}\partial _ {j}\phi _{i}

\partial _{i}\phi _{i}=0\ \

(tvärtillstånd)

Här är det inkompressibla hastighetsvektorfältet, är den kinematiska viskositeten och p är trycket. $\phi$ $\nu$

Problem av Langevin-typ

I klassen av problem av stokastisk dynamik särskiljs traditionellt en snävare klass av problem av kritisk dynamik, där ytterligare villkor ställs på de aktuella fälten och på formen av det funktionella U (det t-lokala funktionella på höger sida av den dynamiska ekvationen för fälten). Först, som en uppsättning fält i systemet, en uppsättning fält som motsvarar den så kallade. mjuka lägen. Ett mjukt läge är vilken kvantitet som helst vars storskaliga fluktuationer långsamt slappnar av, det vill säga i momentumrepresentationen tenderar relaxationshastigheten för fluktuationer med en given vågvektor k att bli noll vid . Till exempel är orderparameterfältet nära den kritiska punkten alltid i sig ett mjukt läge. För det andra kommer det funktionella U att vara variationsderivatan av den statiska verkan. Låt oss skriva ner motsvarande problemformulering: $k->0$

$\partial _{t}\phi _{a}=(\alpha _{ab}+\beta _{ab}){\frac {\delta S^{st}(\phi )}{\delta \phi _{b))}+\eta _{a},\ \ \ <{\hat {\eta }}_{a}(x){\hat {\eta }}_{b}(x' )>=2\alpha _{ab}\delta (xx')$

${\displaystyle \alpha _{ab))$ här kallas Onsager-koefficienten, intermode koppling. $\beta {ab}$

Följande villkor är uppfyllda för dem:

${\displaystyle \alpha _{ab}=\alpha _{ba))$ , det vill säga Onsager-koefficienten är symmetrisk (detta kan lätt förstås från det faktum att korrelatorn för störningar av slumpmässiga krafter är symmetrisk per definition)

${\displaystyle \beta _{ab}=-\beta _{ba))$

Underbyggandet av egenskaperna för intermode-koppling utförs med hjälp av Fokker-Planck-ekvationen .

Sålunda motsvarar uttalandet av ett eller annat problem med kritisk dynamik tilldelningen av en uppsättning fält som beskriver systemet, Onsager-koefficienten och intermodskopplingen. Följande är en lista över de mest använda och studerade modellerna.

Kritiska dynamikmodeller

Efter den klassiska artikeln [Hohenberg, Halperin], här är en standardlista över kritiska dynamikmodeller. Alla av dem motsvarar den statiska -modellen för orderparameterfältet, åtgärden i dessa modeller kommer att anges explicit. $O_{n}-\phi ^{4}$

Den statiska -modellåtgärden för ett n-komponentfält är $O_{n}-\phi ^{4}$ $\psi$

S^{st}(\psi )=-(\partial \psi )^{2}/2-\tau \psi ^{2}/2-v_{1}(\psi ^{2}) ^{2}/24

Modellerna A och B

A och B är relaxationsmodeller, det vill säga intermodkopplingen (den antisymmetriska delen av motsvarande matris) är lika med noll.

Modell A beskriver en anisotrop ferromagnet med ett enkomponents icke-konserverat fält av ordningsparametern, för vilken projektionen av magnetiseringen på en av koordinataxlarna beaktas i det fysiska systemet;

Modell B beskriver en enaxlig ferromagnet med ett enkomponents bevarat fält av ordningsparametern, som i det fysiska systemet representeras av projektionen av magnetiseringen på en av koordinataxlarna.

Modell A:

{\displaystyle \phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=\lambda _{\psi ))

var $\lambda _{a}\equiv const>0\ \ \forall a$

Modell B:

{\displaystyle \phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi }\cdot \partial ^{2))

Ur den formella inställningens synvinkel skiljer sig således modellerna A och B endast i bevarandet av ordningsparameterfältet.

Modellerna C och D

Modellerna C och D är också rent avslappnande. De är generaliseringar av modellerna A och B för fallet med bevarande av energi; de introducerar ytterligare ett konserverat skalärfält som beskriver temperaturfluktuationer. $m(x)=<{\hat {E))(x)>$

Modell C:

{\displaystyle \phi =\{\psi ,m\))

, där m är ett ytterligare bestående enkomponentsfält

S^{st}(\phi )=S^{st}(\psi )-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2

{\displaystyle \alpha _{\psi }=\lambda _{\psi};\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \partial ^{2))

Modell D:

{\displaystyle \phi =\{\psi ,m\))

, där m är ett ytterligare bestående enkomponentsfält

S^{st}(\phi )=S^{st}(\psi )-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2

\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi}\cdot \partial ^{2};\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \partial ^ {2}

Återigen, ur den formella inställningens synvinkel, skiljer sig modellerna C och D endast i bevarandet av ordningsparameterfältet.

Litteratur

Vasiliev AN Kvantfältsrenormaliseringsgrupp i teorin om kritiskt beteende och stokastisk dynamik. - St Petersburg. : PIYaF förlag, 1998.
Hohenberg PC Halperin BI Teori om dynamiska kritiska fenomen, Rev. Mod. Phys, vol. 49, nr 3, juli 1977, sid. 435-475

Anteckningar

Länkar

MSR- formalism