Lemma av Nakayama

Nakayamas lemma är ett viktigt tekniskt lemma i kommutativ algebra och algebraisk geometri , en konsekvens av Cramers regel . Uppkallad efter Tadashi Nakayama .

Formuleringar

Den har många likvärdiga formuleringar. Här är en av dem:

Låt R vara en kommutativ ring med identitet 1, I ett ideal i R och M en ändligt genererad modul över R. Om IM = M , så finns det ett ∈ I så att för varje m ∈ M am = m .

Bevis på lemma. Låta vara generatorer av modulen M . Eftersom M = IM kan var och en av dem representeras som $m_{1},m_{2},...,m_{n}$

m_{i}=a_{{i1}}m_{1}+a_{{i2}}m_{2}+\dots +a_{{in}}m_{n}

, var finns delar av idealet I . Det vill säga (var är Kronecker-symbolen ).

a_{{ij}}

\sum \limits _{{j}}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})m_{j}=0

\delta _{{ij}}

Av Cramers formel för detta system följer att för alla j

\operatörsnamn {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})\cdot m_{j}=0

Eftersom vi representerar i formen 1 − a , a från I , är lemmat bevisat. $\operatörsnamn {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})$

Följande följd av det bevisade uttalandet är också känt som Nakayamas Lemma:

Resultat 1: Om idealet I under lemmats villkor har egenskapen att för vart och ett av dess element a , är elementet 1 − a inverterbart (det är till exempel fallet om I ingår i Jacobson-radikalen ) måste det vara M = 0 .

Bevis . Det finns ett element a av det ideala I så att aM = M , därav (1 − a)M = 0, multiplicerar vi från vänster med elementet inverst till 1 − a , får vi att M = 0.

Applikation på moduler över lokala ringar

Låt R vara en lokal ring , vara ett maximalt ideal i R , M vara en ändligt genererad R -modul och vara en faktoriseringshomomorfism. Nakayamas lemma tillhandahåller ett bekvämt sätt att gå från en modul M över en lokal ring R till en kvotmodul , som är ett ändligt dimensionellt vektorrum över ett fält . Följande uttalande anses också vara en form av Nakayamas lemma, så som det tillämpas i detta fall: $\mathfrak{m}$ $\phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $R/{\mathfrak {m}}$

Element genererar en modul M om och endast om deras bilder genererar en kvotmodul . $m_{1},m_{2},...,m_{n}\i M$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$

Bevis. Låt S vara en submodul i M genererad av element , Q = M/S vara en faktormodul och vara en faktoriseringshomomorfism. Eftersom de genererar en kvotmodul betyder detta att för varje som finns , så att . Sedan . Eftersom det är surjektivt betyder det att . Med Nakayamas lemma (närmare bestämt, enligt resultat 1) Q=0 , det vill säga S=M . $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ $\pi :M\till Q$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $m\in M$ $s\i S$ $ms\in {\mathfrak {m}}M$ $\pi (m)=\pi (ms)\in {\mathfrak {m}}F$ $\pi$ $Q={\mathfrak {m}}F$

Det finns en annan version av Nakayamas lemma för moduler över lokala ringar:

Låt vara en homomorfism av ändligt genererade R -moduler. Det inducerar en kvotmodulhomomorfism . Dessa homomorfismer är antingen surjektiva eller icke-surjektiva på samma gång. $\phi :\,M\till N$ $\phi _{0}:\,M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N$

Baserat på denna form av Nakayamas lemma, härleds följande viktiga teorem:

Varje ( ändligt genererad ) projektiv modul över en lokal ring är gratis.

Litteratur

M. Atiyah, I. MacDonald. Introduktion till kommutativ algebra. — M .: Mir , 1972. — 160 sid.

Se även

Tadashi Nakayama