Lemniscate Bernoulli

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 december 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Bernoullis lemniscat är en plan algebraisk kurva . Definierat som platsen för punkter , produkten av avstånden från vilka till två givna punkter ( foci ) är konstant och lika med kvadraten på halva avståndet mellan brännpunkterna.

Lemniscaten är formad som den arabiska siffran " åtta " eller symbolen för oändlighet . Punkten där lemniscaten skär sig själv kallas nodal eller dubbel .

Historik

Namnet kommer från andra grekiska. λημνίσκος - band, bandage. I antikens Grekland var en "lemniscate" en båge som användes för att fästa en krans på huvudet på en vinnare vid sportspel . Denna typ av lemniscat är uppkallad efter den schweiziske matematikern Jacob Bernoulli , som lade grunden för dess studie.

Lemniscatekvationen publicerades första gången i 1694 års artikel Curvatura Laminae Elasticae av Jacob Bernoulli i tidskriften Acta eruditorum . Bernoulli kallade denna kurva lemniscus ; han visste inte att Giovanni Cassini fjorton år tidigare redan hade undersökt det mer allmänna fallet [1] . Kvadraturen av lemniscaten utfördes först av Giulio Carlo Fagnano , som publicerade artikeln Metodo per misurare la lemniscata 1718 och därigenom initierade studiet av elliptiska integraler , som därefter fortsattes av Leonhard Euler [2] . Vissa egenskaper hos kurvan undersöktes också av Jakob Steiner 1835 .

Ekvationer

Tänk på det enklaste fallet: om avståndet mellan brännpunkterna är , de är belägna på axeln , och ursprunget delar segmentet mellan dem på mitten, definierar följande ekvationer lemniscaten: $2c$ $OXE$

Parametrisk i rektangulära koordinater : $x={\frac {c{\sqrt {2}}\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)));\qquad y={\frac {c{\sqrt {2}}\sin(t)\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}}}$
i rektangulära koordinater :

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Slutsats

Fokus på lemniskatet - och . Låt oss ta en godtycklig poäng . Produkten av avstånden från brännpunkterna till punkten är $F_{1}(-c;0)$ $F_{2}(c;0)$ $M(x;y)$ $M$

{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}

och per definition är det : $c^{2}$

{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=c^{2}

Vi kvadrerar båda sidor av ekvationen:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Big )}=c^{4}

Expandera fästena på vänster sida:

\textstil (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=c^{4}

Vi öppnar parenteserna och kollapsar den nya kvadraten av summan:

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}c^{2}+2y^{2}c^{2}=0

Vi tar ut den gemensamma faktorn och överför:

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Därefter kan du byta ut , även om detta inte är nödvändigt: $a^{2}=2c^{2}$

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})

I det här fallet radien av cirkeln som beskriver lemniscaten. $a$

Efter att ha utfört enkla transformationer kan vi få en explicit ekvation:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Slutsats

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Vi kvadrerar och öppnar parenteserna:

\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}=2c^{{2}}x^{2}-2c^{{2}}y^{ 2}

Vi för tankarna till

\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}=0

Detta är en andragradsekvation för . Att lösa det får vi $y^{2}$

\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {c^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}

Om vi tar roten och kasserar alternativet med en negativ andra term får vi:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

där den positiva varianten definierar den övre halvan av lemniscaten, och den negativa varianten definierar den nedre halvan.

i polära koordinater :

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi .

Slutsats

\textstil (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Med hjälp av formlerna för övergången till det polära koordinatsystemet får vi: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}=2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}

Vi tar ut de gemensamma faktorerna och använder den trigonometriska identiteten : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

\textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )

Vi delar med , förutsatt att och vi använder ytterligare en identitet: : $\rho ^{2}$ $\rho \neq 0$ $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi

Som i fallet med ett rektangulärt system kan man ersätta : $a^{2}=2c^{2}$

\textstyle \rho ^{2}=a^{2}\cos 2\varphi

Parametrisk ekvation i ett rektangulärt system:

{\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\sqrt {2}} {\frac {pp^{3}}{1+p^{4}}}\end{case}}

, var

p^{2}=\operatörsnamn {tg}{\Big (}{\frac {\pi }{4}}-\varphi {\Big )}

Detta är den enda rationella parametriseringen av kurvan. Ekvationen beskriver helt kurvan när parametern går genom hela den reella linjen : från till . I det här fallet, när parametern tenderar till , tenderar kurvans punkt till från den andra koordinatkvarten , och när parametern tenderar till , sedan från den fjärde. Fördelningen av punkter, som ger den parametriska ekvationen, när du ändrar dess parameter med ett fast steg, visas i figuren. $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $(0;0)$ $+\infty$

Ekvationshärledning

Lemniskatekvationen i det polära systemet

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi

låt oss ersätta formlerna för övergången till det polära koordinatsystemet i kvadrat: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi \cos ^{2}\varphi \\y^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi \sin ^{2}\varphi \end{cases}}

Vi använder trigonometriska formler och : $\textstyle \cos 2\alpha ={\dfrac {1-\operatörsnamn {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatörsnamn {tg} ^{2}\alpha )),\textstyle \cos ^{2}\alpha ={\dfrac {1}{1+\operatörsnamn {tg} ^{2}\alpha }}$ $\textstyle \sin ^{2}\alpha ={\dfrac {\operatörsnamn {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatörsnamn {tg} ^{2}\alpha ))$

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {1-\operatörsnamn {tg} ^{2}\varphi }{\left(1+\operatörsnamn {tg} } ^{2}\varphi \right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatörsnamn {tg} ^{2}\varphi \left(1-\ operatörsnamn {tg} ^{2}\varphi \right)}{\left(1+\operatörsnamn {tg} ^{2}\varphi \right)^{2}}}\end{cases}}

Vi använder en annan lätt härledd trigonometrisk relation : $\operatörsnamn {tg} \alpha ={\dfrac {1-\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}{1+\operatörsnamn {tg } \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)))$

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {1-\left({\dfrac {1-\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\ pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)))\right)^{2} }{\left(1+\left({\dfrac {1-\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi}{4))-\varphi \right)}{1+\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2 }{\dfrac {\left({\dfrac {1-\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatörsnamn {tg} \left ({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\left(1-\left({\dfrac {1-\operatörsnamn {tg} \left({ \frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi}{4}}-\varphi \right)))\right) ^{2}\right)}{\left(1+\left({\dfrac {1-\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{ 1+\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)))\right)^{2}\right)^{2}}}\end{cases} }

Efter att ha utfört de nödvändiga transformationerna får vi:

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi}{4))-\varphi \right )\left(1+\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi}{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}{\left(1+\operatörsnamn {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac { \operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\left(1-\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}- \varphi \right)\right)^{2}}{\left(1+\operatörsnamn {tg} ^{2}\left({\frac {\pi}{4}}-\varphi \right)\right )^{2}}}\end{cases}}

Vi tar roten till båda sidor av båda jämlikheterna:

\textstyle {\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\dfrac {\left(1+\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}- \varphi \right)\right){\sqrt {\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4))-\varphi \right)))}{1+\operatörsnamn {tg} ^{ 2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\\y=c{\sqrt {2}}{\dfrac {\left(1-\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right){\sqrt {\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi}{4}}-\varphi \ höger)}}}{1+\operatörsnamn {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)))\end{cases}}

Om vi ersätter får vi de önskade parametriska ekvationerna: $\textstyle \operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)=p^{2}$

\textstyle {\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\ sqrt {2}}{\frac {pp^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}

För att ställa in en lemniscat för två godtyckliga punkter kan du inte härleda ekvationen igen, utan bestämma koordinattransformationen, i vilken det gamla (givna) fokalsegmentet övergår i det nya, och agera på de presenterade ekvationerna med denna transformation.

Exempel

Låt, till exempel, - tricks. $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$

Det finns ett rektangulärt koordinatsystem (i figuren - ), där lemniscatekvationen har formen $\textstyle x''Oy''$

\textstyle {\Big (}(x'')^{2}+(y'')^{2}{\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}(x'' )^{2}-(y'')^{2}{\Big )}=0

Det är nödvändigt att definiera en koordinatsystemtransformation som konverterar till . Denna transformation utförs i två steg: parallell translation och rotation. $\textstil xOy$ $\textstyle x''Oy''$

Mitten av segmentet är , vilket betyder att överföringen endast sker längs axeln : $F_{1}F_{2}$ $\textstil F\left({\frac {1}{2));0\right)$ $\textstyle +{\frac {1}{2}}$ $OXE$

{\begin{cases}x'=x-x_{0}\\y'=y-y_{0}\end{cases}}={\begin{cases}x'=x-{\frac {1} {2}}\\y'=y\end{cases}}

Efter överföring av koordinatsystemet måste det roteras med någon vinkel. För att bestämma vinkeln, hitta först avståndet mellan brännpunkterna:

2c=|F_{1}F_{2}|={\sqrt {(2+1)^{2}+(-2-2)^{2))}=5

betyder . $c={\frac {5}{2)),\,2c^{2}={\frac {25}{2}}$

Nu, från geometriska överväganden, finner vi sinus och cosinus för lutningsvinkeln till : $F_{1}F_{2}$ $OXE$

\sin \alpha ={\frac {-2-2}{5}}=-{\frac {4}{5)),\,\,(\alpha \approx -53^{\circ })

\cos \alpha ={\frac {2-(-1)}{5}}={\frac {3}{5}}

Konverteringsformler:

{\begin{cases}x''=x'\cos \alpha +y'\sin \alpha \\y''=-x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \end{cases}}= {\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}x'-{\frac {4}{5}}y'\\y''={\frac {4}{5} }x'+{\frac {3}{5}}y'\end{cases}}

Genom att kombinera båda transformationerna får vi de slutliga övergångsformlerna:

{\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y\\y' '={\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y\end{fall}}

För att få en ekvation i standardkoordinatsystemet, ersätter vi dessa relationer med kurvans ursprungliga ekvation:

\textstyle {\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\ Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{ \Big )}^{2}{\bigg )}^{2}-2c^{2}{\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac { 1}{2)))-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}-{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2)))+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}=0

Efter transformationer:

x^{4}+y^{4}+24xy-2xy^{2}+2x^{2}y^{2}-2x^{3}+5x^{2}-4x-3y^{2} -12y+{\frac {15}{16}}=0

Denna ekvation definierar en lemniscate med foci i det vanliga rektangulära koordinatsystemet. $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$

Egenskaper

Bernoulli-lemniscaten är ett specialfall av Cassini-ovalen vid , den sinusformade spiralen med index , och Booth-lemniscaten vid , så den ärver några av egenskaperna hos dessa kurvor. $a=c$ $n=2$ $c=0$

Egenskaper giltiga för godtyckliga Cassini-ovaler

Lemniscaten är en fjärde ordningens kurva .
Den är symmetrisk med avseende på dubbelpunkten - mitten av segmentet mellan brännpunkterna.
Kurvan har 2 maxima och 2 minima. Deras koordinater: ${\begin{cases}x=\pm {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}c\\y=\pm {\frac {c}{2}}\end{cases}}$
Avståndet från maximum till minimum, beläget på ena sidan av den vinkelräta bisektrisen av segmentet mellan brännpunkterna, är lika med avståndet från maximum (eller minimum) till dubbelpunkten.
Lemniscaten beskriver en cirkel med radie , så denna substitution görs ibland i ekvationer. $a=c{\sqrt {2}}$

Egenskaper sanna för godtyckliga sinusformade spiraler

Tangenter i en dubbelpunkt gör vinklar med ett segment . $F_{1}F_{2}$ $\textstil \pm {\frac {\pi }{4))$
Vinkeln som görs av en tangent vid en godtycklig punkt på kurvan med radievektorn för tangentpunkten är lika med . $\mu$ $\textstyle 2\varphi +{\frac {\pi }{2))$
Tangenterna vid skärningspunkterna för kurvan och kordan som passerar genom dubbelpunkten är parallella med varandra.
Inversion runt en cirkel centrerad i en dubbelpunkt, omvandlar Bernoullis lemniscate till en likbent hyperbel .
Krökningsradien för lemniscaten är $\textstyle R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}$

Slutsats
Det finns ett specialfall av formeln för krökningsradien för en sinusformad spiral : $R={\frac {\rho }{(m+1)\cos m\varphi }}$ på $m=2,$ det är dock lätt att härleda per definition. Lemniskat-ekvationen i det polära systemet är: $\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }$ Formler för övergången till det polära koordinatsystemet: ${\begin{cases}x=\rho \cos {\varphi }\\y=\rho \sin {\varphi }\end{cases))$ Vi uttrycker : $\textstil \rho$ ${\begin{cases}\rho ={\frac {x}{\cos {\varphi ))}\\\rho ={\frac {y}{\sin {\varphi ))}\end{cases))$ Vi ersätter lemniskaterna i ekvationen och uttrycker och : $x$ $y$ ${\begin{cases}{\frac {x^{2}}{cos^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\\{\frac {y^{ 2}}{sin^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\end{cases}}={\begin{cases}x=c{\sqrt {2} }\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\\y=c{\sqrt {2}}\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }} }\end{cases}}$ är en parametrisk ekvation för . Genom att göra några trigonometriska transformationer kan du få ekvationen för , som anges ovan i avsnittet Ekvationer . $\varphi$ $\textstil sid$ Formeln för krökningsradien för en kurva definierad parametriskt: $R={\frac {{\Big (}(x')^{2}+(y')^{2}{\Big )}^{{3/2}}}{\|x'y''- x''y'\|}}$ Vi hittar derivator med avseende på : $\varphi$ $x'=c{\sqrt {2}}\left(-\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi}}}-\cos {\varphi }{\frac {\sin {2\ varphi }}{{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}\right)=-c{\sqrt {2}}{\frac {\sin {3\varphi}}{{\sqrt {\ cos {2\varphi }}}}}}$ $x''=-c{\sqrt {2}}{\frac {3\cos {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi } }{{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}\sin {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\ frac {2\cos {\varphi }+\cos {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{{3/2))))$ $y'=c{\sqrt {2}}\left(-\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\sin {\varphi }{\frac {\sin {2\ varphi }}{{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}\right)=c{\sqrt {2}}{\frac {\cos {3\varphi }}{{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}$ $y''=c{\sqrt {2}}{\frac {-3\sin {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi } }{{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}\cos {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\ frac {2\sin {\varphi }+\sin {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{{3/2))))$ Ersätt i radieformeln: $R=\ldots ={\frac {\left({\frac {2c^{2}}{cos{2\varphi }}}\right)^{{3/2}}}{{\frac {6c^ {2}}{\cos {2\varphi }}}}}}={\frac {c{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}$ Vi återgår till lemniscatekvationen: $\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }\,\,\Rightarrow \,\,{\sqrt {\cos {2\varphi }}}={\frac {\rho } {c{\sqrt {2}}}}$ Vi ersätter detta uttryck i den resulterande radieformeln och får: $R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}$

Slutsats

Det finns ett specialfall av formeln för krökningsradien för en sinusformad spiral :

R={\frac {\rho }{(m+1)\cos m\varphi }}

på

m=2,

det är dock lätt att härleda per definition.

Lemniskat-ekvationen i det polära systemet är:

\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }

Formler för övergången till det polära koordinatsystemet:

{\begin{cases}x=\rho \cos {\varphi }\\y=\rho \sin {\varphi }\end{cases))

Vi uttrycker : $\textstil \rho$

{\begin{cases}\rho ={\frac {x}{\cos {\varphi ))}\\\rho ={\frac {y}{\sin {\varphi ))}\end{cases))

Vi ersätter lemniskaterna i ekvationen och uttrycker och : $x$ $y$

{\begin{cases}{\frac {x^{2}}{cos^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\\{\frac {y^{ 2}}{sin^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\end{cases}}={\begin{cases}x=c{\sqrt {2} }\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\\y=c{\sqrt {2}}\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }} }\end{cases}}

är en parametrisk ekvation för . Genom att göra några trigonometriska transformationer kan du få ekvationen för , som anges ovan i avsnittet Ekvationer . $\varphi$ $\textstil sid$

Formeln för krökningsradien för en kurva definierad parametriskt:

R={\frac {{\Big (}(x')^{2}+(y')^{2}{\Big )}^{{3/2}}}{|x'y''- x''y'|}}

Vi hittar derivator med avseende på : $\varphi$

x'=c{\sqrt {2}}\left(-\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi}}}-\cos {\varphi }{\frac {\sin {2\ varphi }}{{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}\right)=-c{\sqrt {2}}{\frac {\sin {3\varphi}}{{\sqrt {\ cos {2\varphi }}}}}}

x''=-c{\sqrt {2}}{\frac {3\cos {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi } }{{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}\sin {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\ frac {2\cos {\varphi }+\cos {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{{3/2))))

y'=c{\sqrt {2}}\left(-\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\sin {\varphi }{\frac {\sin {2\ varphi }}{{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}\right)=c{\sqrt {2}}{\frac {\cos {3\varphi }}{{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}

y''=c{\sqrt {2}}{\frac {-3\sin {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi } }{{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}\cos {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\ frac {2\sin {\varphi }+\sin {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{{3/2))))

Ersätt i radieformeln:

R=\ldots ={\frac {\left({\frac {2c^{2}}{cos{2\varphi }}}\right)^{{3/2}}}{{\frac {6c^ {2}}{\cos {2\varphi }}}}}}={\frac {c{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}

Vi återgår till lemniscatekvationen:

\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }\,\,\Rightarrow \,\,{\sqrt {\cos {2\varphi }}}={\frac {\rho } {c{\sqrt {2}}}}

Vi ersätter detta uttryck i den resulterande radieformeln och får:

R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}

Kurvans naturliga ekvation har formen $S=3\int {\frac {{\mathrm {d}}R}{{\sqrt {\left({\frac {3}{c}}R\right)^{4}-1))))$
Undersidan av lemniscaten är en sinusformad spiral $\textstil \rho ^{{{\frac {2}{3))))=(c{\sqrt {2))))^{({\frac {2}{3))))\cos {\ frac {2}{3}}\varphi .$
Lemniscaten är själv ett subradium av en liksidig hyperbel .

Egna fastigheter

En kurva är en plats av punkter som är symmetriska till centrum av en liksidig hyperbel med avseende på dess tangenter.
Segmentet av bisektrisen av vinkeln mellan fokalradievektorerna för lemniskatens punkt är lika med segmentet från lemniskatens mitt till skärningspunkten mellan dess axel och denna bisektrik.
En materialpunkt som rör sig längs lemniscaten under inverkan av ett enhetligt gravitationsfält löper genom bågen samtidigt som motsvarande korda (se figur). Det antas att lemniscatens axel bildar en vinkel med fältstyrkevektorn , och lemniscatens centrum sammanfaller med utgångsläget för den rörliga punkten. $45^{\cirkel }$
Området för den polära sektorn , vid : $\varphi \i [0,\alpha ]$ $\textstyle 0\leqslant \alpha \leqslant {\frac {\pi }{4))$ $\textstyle S(\alpha )={\frac {c^{2}}{2}}\sin 2\alpha$
- I synnerhet är arean av varje slinga , det vill säga området som begränsas av kurvan, lika med arean av en kvadrat med en diagonal . $\textstyle 2S\left({\frac {\pi }{4}}\right)=c^{2}$ $c{\sqrt {2}}$
Den vinkelräta som faller från lemniscatens fokus till radievektorn för någon av dess punkter delar arean av motsvarande sektor i hälften.
Längden på lemniskatbågen mellan punkterna och uttrycks av en elliptisk integral av det första slaget: $\varphi _{1}=0$ $\varphi _{2}=\varphi$ $\textstyle L(\varphi )=c\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac ({\mathrm {d}}\varphi }{{\sqrt {1-2\sin ^{2} \varphi }}}}={\frac {c}{{\sqrt {2}}}}\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {{\mathrm {d}}\theta } {{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta }}}}={\frac {c}({\sqrt {2}}}}F\vänster( \theta ,{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\right),$ var $2\sin ^{2}\varphi =\sin ^{2}\theta .$
- I synnerhet längden på hela lemniscaten $\textstyle 4L\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2c{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{\sqrt {2} }}\right)\approx 5{,}244a\approx 7{,}416c.$

Byggnader

Med hjälp av sekanter ( Maclaurin- metoden )

En cirkel med radie konstrueras med centrum vid en av brännpunkterna. En godtycklig sekant konstrueras från mitten av fokalsegmentet ( och är skärningspunkterna med cirkeln), och segment som är lika med ackordet plottas på den i båda riktningarna . Punkterna ligger på olika öglor av lemniscaten. $\textstyle {\frac {c}{{\sqrt {2))))$ $O$ $OPS$ $P$ $S$ $OM_{1}$ $OM_{2}$ $PS$ $M_{1}$ $M_{2}$

Gångjärnsmetoder _

Alternativ ett

Två punkter väljs på planet - och - lemniscatens framtida fokus. En speciell design är sammansatt av tre segment fästa i rad på gångjärn så att den resulterande linjen kan böjas fritt på två ställen (vikpunkter - och ). I det här fallet är det nödvändigt att observera segmentens proportioner: . Linjens kanter är fästa vid brännpunkterna. Med en icke-parallell rotation av segmenten runt brännpunkterna kommer mitten av det centrala segmentet att beskriva Bernoulli-lemniscaten. $A$ $B$ $C$ $D$ $\textstyle AC=BD={\frac {AB}({\sqrt {2)))),\;CD=AB$

Alternativ två

I denna version är lemniskatet byggt på fokus och dubbelpunkten - resp . Nästan samma gångjärnsstruktur är monterad som i den tidigare versionen, men segmentet som är fäst vid dubbelpunkten är inte anslutet till änden av den centrala , utan till dess mitt. Proportionerna är också olika: . $A$ $O$ $OC$ $BD$ $\textstil BC=CD=OC={\frac {AO}({\sqrt {2)))),\;AB=AO$

Bygga en lemniscat med sekanter
gångjärnsmetod
Watt mekanism ( animation )
En annan version av gångjärnsmetoden

Använda NURBS spline

Bernoulli-lemniscaten kan konstrueras med hjälp av NURBS-splines på en mängd olika sätt. Ett av de möjliga sätten visas i figuren. Parametrar för splinekontrollpunkter visas i tabellen:

Nej.	${\frac {x{\sqrt {2}}}{c}}$	${\frac {y{\sqrt {2}}}{c}}$	$vikt$
ett	2	0	2
2	2	ett	ett
3	0	ett	ett
fyra	0	−1	ett
5	−2	−1	ett
6	−2	0	2
7	−2	ett	ett
åtta	0	ett	ett
9	0	−1	ett
tio	2	−1	ett
elva	2	0	2

Nodalvektor {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. En sådan representation av NURBS-kurvan sammanfaller helt med den rationella parametriska representationen i ett rektangulärt koordinatsystem i intervallet för parametern p i intervallet: . $-1\leq p\leq 1$

Generaliseringar

Lemniscate - allmänt fall med flera foci
Cassini oval - generalisering till produkten av avstånd till foci
Sinusformad spiral - en generalisering i form av en parametrisk ekvation (Bernoullis lemniscat erhålls vid ) $n=2$

Se även

Anteckningar

↑ Artikel om Cassini Ovals på Plane Curve-webbplatsen ( otillgänglig länk) . Hämtad 15 juni 2010. Arkiverad från originalet 22 augusti 2011.
↑ Bradley RE, D'Antonio LA, Sandifer CE Euler vid 300: en uppskattning . - S. 121-123.

Litteratur

Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer). — M .: Soviet Encyclopedia , 1982.
Markushevich AI Anmärkningsvärda kurvor . — Populära föreläsningar i matematik . - M .: Gostekhizdat , 1952. - S. 23-25. Arkiverad14 september 2008 påWayback Machine
Savelov A. A. Plane curves / Ed. ed. A. P. Norden. - M. : FIZMATGIZ , 1960. - S. 155-162.
Lockwood EH En bok med kurvor. - Cambridge: Cambridge university press, 1961. - S. 110-117.

Länkar

Artikel på Wolfram MathWorlds webbplats . Hämtad: 15 juni 2010.
Artikel i Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (fr.) . Hämtad 15 juni 2010. Arkiverad från originalet 22 augusti 2011.
Fagnano och längden på lemniscatens båge (italienska) . Hämtad 15 juni 2010. Arkiverad från originalet 22 augusti 2011.

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta