Magnetisk hydrodynamik

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 juli 2020; kontroller kräver 3 redigeringar .

Magnetohydrodynamik är en fysikalisk disciplin som uppstod i skärningspunkten mellan hydrodynamik och kontinuumelektrodynamik . Ämnet för hennes studie är dynamiken hos en ledande vätska eller gas i ett magnetfält . Exempel på de studerade medierna är olika sorters plasma , flytande metaller , saltvatten.

Hannes Alfven , som tilldelades Nobelpriset 1970 för sitt arbete, är erkänd som en pionjär inom forskning inom området magnetohydrodynamikteori . Det första experimentella arbetet på detta område var Hartmanns studie 1937 av motståndet mot flödet av kvicksilver i ett rör under påverkan av ett tvärgående magnetfält.

Ekvationer för magnetohydrodynamik

Det kompletta ekvationssystemet för icke-relativistisk magnetohydrodynamik för en ledande vätska har formen:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatörsnamn {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta { \vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operatörsnamn {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatörsnamn {div} \rho {\vec {v))=0\\\displaystyle {\frac {\ partiell {\vec {H))}{\partial t))=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatörsnamn {rot} \ vänster[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatörsnamn {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Här:

$sid$ är trycket i mediet;
$\rho$ är mediets densitet;
$\sigma$ — Mediets ledningsförmåga.
$\eta$ är mediets skjuvviskositet ;
$\zeta$ är mediets bulkviskositet ;
${\vec {v}}$ är hastighetsfältet;
${\vec {H}}$ är styrkan hos magnetfältet .

Detta system innehåller 8 ekvationer och låter dig bestämma 8 okända ( , , , ) för givna initiala och randvillkor. $sid$ $\rho$ ${\vec {H}}$ ${\vec {v}}$

Om vi använder följande uppskattningar ( icke-försvinnande gräns):

$\sigma \to \infty ;$
$\eta =0;$
$\zeta =0,$

då kan systemet med MHD-ekvationer skrivas i en enklare form:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatörsnamn {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatörsnamn {div} \rho {\vec {v))=0\\\displaystyle {\frac {\ partiell {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatörsnamn {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \ cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Härledning av ekvationer

Härledning av MHD-ekvationerna från Maxwell- och hydrodynamiska ekvationer

Låt oss skriva systemet av Maxwells ekvationer i CGS -systemet :

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ partiell t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}} +{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E }}=0\end{cases}}

Vi kommer att utgå från följande antaganden:

den magnetiska permeabiliteten är lika med en: $\mu=1;$
inga elektriska laddningar $\rho =0;$
Ohms lag har formen: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}.$

Vi begränsar oss till det icke-relativistiska fallet ( ), det vill säga, $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \partial t}}\right|.$

Motivering för den icke-relativistiska approximationen.

Låt oss visa att det är likvärdigt $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \partial t}}\right|:$

\left|\nabla \times \nabla \times {\vec H}\right|\gg \left|{\frac 1c}\nabla \times {\frac {\partial {\vec E)){\partial t} }\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\partial ^{2}{\vec H}}{\partial t^{2}}}\right |

Låt oss utvärdera detta uttryck:

{\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}},

var:

$L$ är den karakteristiska längden;
$\tau$ är en karaktäristisk tid.

Detta leder oss till följande relation:

c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2};

v\ll c.

Det vill säga att den karakteristiska hastigheten i systemet måste vara mycket mindre än ljusets hastighet.

Maxwells ekvationer i denna approximation kommer att skrivas enligt följande:

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ partiell t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}

Uttrycker vi från Ohms lag och sätter in den i den första ekvationen, får vi: ${\vec E}$

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\ sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right).

Genom att ersätta strömmen från Maxwells andra ekvation med denna ekvation får vi:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac { c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\ gånger {\vec {H}}\right].

Inom gränsen för en idealisk ledande vätska får vi: $\sigma \till \infty$

${\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right] .$

För att koppla till hydrodynamik läggs en term till i Navier-Stokes ekvation som är ansvarig för Ampère-kraften som verkar på strömmar från magnetfältet (strömmen uttrycks från den andra Maxwell-ekvationen genom magnetfältets styrka):

{\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1 }{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right].

Applikationer

Principerna för magnetohydrodynamik används för fjärrövervakning och kontroll av beteendet hos flytande metaller i industrin, i synnerhet:

i MHD-pumpar ;
i MHD-generatorer .

Se även

Litteratur

V. Denisov «Introduktion till elektrodynamik hos materialmedia: lärobok». - M .: Moscows förlag. un-ta, 1989. - ISBN 5-211-01371-9
Landau L. D., Lifshitz E. M. Electrodynamics of continuous media. - 4:e upplagan, stereotypt. — M .: Fizmatlit , 2003 . — 656 sid. - ("Teoretisk fysik", volym VIII). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Kotelnikov IA- föreläsningar om plasmafysik. Volym 2: Magnetohydrodynamik. - 3:e uppl. - St Petersburg. : Lan , 2021. - 446 sid. - ISBN 978-5-8114-6933-8 .

Länkar

Magnetisk hydrodynamik i encyklopedin "Krugosvet".
Webbplats för tidskriften för Institutet för fysik vid Lettlands universitet "Magnetohydrodynamics" (tidigare tidskriften "Magnetic hydrodynamics") .

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNE : XX524551 BNF : 11958825c GND : 4130803-7 J9U : 987007543557805171 LCCN : sh85079784 LNB : 000053294 NKC : ph122552

Avsnitt av elektrodynamik
Elektrostatik och elektrodynamik Magnetostatik och magnetodynamik Relativistisk elektrodynamik kvantelektrodynamik
Elektrodynamik hos kontinuerliga medier	Magnetohydrodynamik Elektrohydrodynamik