Majoranta

Majorant (från franska majorer - att höja) är en term som används i matematik för att hänvisa till flera begrepp som generaliserar begreppet supremum eller exakt övre gräns . Det används oftast för att bevisa konvergensen av integraler och serier.

Majorant av en beställd uppsättning

Begreppet majorant i en ordnad uppsättning introduceras för att definiera det högsta av en uppsättning. Låt M vara en delmängd av en ordnad mängd. Då är majoranten i mängden M ett element som inte är mindre än något element av M. Mängden Ms högsta värde är minimum av alla majoranter i mängden M. [1]

Funktionens majorant

Majoranten av en funktion är en funktion vars värden inte är mindre än motsvarande värden för den givna funktionen på det betraktade intervallet för den oberoende variabeln. Integrerbarheten av majoranten i en sekvens av integrerbara funktioner är ett tillräckligt villkor för existensen av en integral av sekvensens gräns. [2]

Exempel

Låt integrerbara funktioner ha en gräns och det finns en integrerbar majorant. Sedan kan vi passera till gränsen under integraltecknet: [3] $f_{n}(x),n=1,2,...$ $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ $g(x)\geq |f_{n}(x)|,n=1,2,...$

\lim _{n\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{n}(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{ +\infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)dx

Serie Majorant

Majoranten i en serie är en numerisk serie , vars alla medlemmar, från ett visst antal, inte är mindre än det absoluta värdet av motsvarande medlemmar i denna serie. Om den ursprungliga serien beror på argumentet, till exempel är en potens eller trigonometrisk , ange intervallet över vilket olikheten är uppfylld. För att konstruera majoranterna i matrisserier används matrisnormen .

Som majoranter används vanligtvis enkla välkonvergerande serier - endimensionell och flerdimensionell geometrisk progression och serier med en faktorial i termernas nämnare. Konvergensen av majoranten innebär konvergensen av den ursprungliga serien. För serier som är funktioner är konstruktionen av majoranter det främsta verktyget för att bevisa konvergens.

Exempel är bevis på Hadamards talseriesats , Abels lemma för serier av flera komplexa variabler och ett bevis på den punktvisa konvergensen av en trigonometrisk serie. [4] [5]

Klass majorant

Begreppet majorant kan introduceras på vilken mängd som helst om en numerisk funktion ges på den. Majoranten av en klass eller delmängd är ett element vars funktionsvärde på vilket är det högsta av funktionsvärdena på denna klass eller delmängd. Liknande definitioner introduceras för att förenkla presentationen. [6]

Anteckningar

↑ Avgränsade uppsättningar. Majoranter och minderåriga. . Hämtad 3 juni 2019. Arkiverad från originalet 3 juni 2019. (obestämd)
↑ Matematisk encyklopedisk ordbok . - M . : "Ugglor. encyclopedia" , 1988. - S. 847 .
↑ STÖRRE OCH MINORANTA . Hämtad 3 juni 2019. Arkiverad från originalet 3 juni 2019. (obestämd)
↑ Sammanfattning av orienteringsföreläsningar för det statliga provet i matematik i riktning mot "Applied Mathematics and Physics" (St. Petersburg State University) . Hämtad 3 juni 2019. Arkiverad från originalet 3 juni 2019. (obestämd)
↑ Omfattande analys . Hämtad 3 juni 2019. Arkiverad från originalet 23 november 2018. (obestämd)
↑ HUVUD- OCH MINORANTA I KLASSEN AV GRAFIKER MED EN FAST DIAMETER OCH ANTAL HÖNDEN. T. I. Fedoryaeva . Hämtad 3 juni 2019. Arkiverad från originalet 3 juni 2019. (obestämd)