Sinai-Ruelle-Bowen mått

Sinai-Ruelle-Bowen-måttet , eller SRB-mått , är ett mått på fasutrymmet i ett dynamiskt system, till vilket fördelningen av banor av typiska initiala (i betydelsen av Lebesgue-måttet) tenderar (möjligen från något område) ). I det här fallet kallas den uppsättning punkter för vilka en sådan tendens uppträder för attraktionsbassängen för detta mått.

Konceptet är uppkallat efter Ya. G. Sinai , D. Ruell och R. Bowen , i vars verk det introducerades.

Definitioner

Mer exakt finns det två icke-ekvivalenta begrepp: definitionen av Sinai-Ruel-Bowen-måttet, associerat med iterationer av typiska punkter ("observerat mått"), och dess modifiering, associerat med iterationer av absolut kontinuerliga mått ("naturligt mått") ").

Definition 1 . Ett mått kallas ett (observerbart) Sinai-Ruelle-Bowen-mått om, för en uppsättning initiala punkter i ett positivt Lebesgue-mått, fördelningen av banor konvergerar till : $\mu$ $x$ $\mu$

{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}\delta _{f^{j}(x)}\to \mu ,\quad n\to \infty .\qquad \qquad (*)

I det här fallet kallas uppsättningen av punkter x som uppfyller (*) måttets attraktionspool . $\mu$

På motsvarande sätt kan denna definition formuleras i termer av tidsgenomsnitt :

Definition 1'. Ett mått kallas det (observerade) Sinai-Ruelle-Bowen-måttet om, för någon uppsättning positiva Lebesgue-mått, tidsmedelvärdena för en kontinuerlig funktion konvergerar nästan överallt till dess integral över mått. $\mu$ $M$ $\varphi$ $M$ $\mu$

{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}\varphi (f^{j}(x)){\xrightarrow[{n\to \infty } ]{{\text{ae in}}\,\,M}}\int \varphi \,d\mu .\qquad \qquad (**)

I det här fallet kallas den maximala uppsättningen för vilken (**) gäller poolen av attraktion för måttet . $M$ $\mu$

När det gäller ett naturligt mått, betraktar vi iterationer inte av ett atomärt initialmått (eller, vad är detsamma, fördelningen av en individuell bana), utan medelvärdet av absolut kontinuerliga initiala mått:

Definition 2. Ett mått kallas ett (naturligt) Sinai-Ruelle-Bowen-mått om, för någon uppsättning positiva Lebesgue-mått för något absolut kontinuerligt initialmått m, dess tidsmedelvärden konvergerar nästan överallt till måttet : $\mu$ $M$ $\mu$

{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}(f^{j})_{*}(m)\to \mu ,\quad n\ till \infty .\qquad \qquad (***)

I det här fallet kallas den maximala mätbara uppsättningen , för vilken (***) gäller, måttets attraktionspool . $M$ $\mu$

Se även

Krylov-Bogolyubovs sats

Litteratur

Ya.G.Sinai, Gibbs mäter i ergodisk teori, Uspekhi Mathematicheskikh Nauk , 27 :4 (1972), 21--69.
R. Bowen. Jämviktstillstånd och ergodisk teori om Anosov-diffeomorfismer. Springer föreläsningsanteckningar i matematik. 470 (1975).
D. Ruelle. Ett mått associerat med Axiom A-atttraktorer. amer. J Math. 98 (1976), sid . 619-654.
L.S. Ung. Vad är SRB-mått och vilka dynamiska system har dem? J. Statist. Phys. 108 (2002) , sid. 733–754.
M. Blank, L. Bunimovich. Flerkomponents dynamiska system: SRB-mått och fasövergångar. Nonlinearity , 16 (2003), s. 387-401.