Ostrogradsky-metoden

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 mars 2021; kontroller kräver 7 redigeringar .

Ostrogradskys metod är en metod för att integrera rationella funktioner med flera irreducerbara faktorer i nämnaren. Metoden tillåter användning av endast algebraiska operationer för att reducera problemet med att integrera en godtycklig rationell funktion till problemet med att integrera en rationell funktion utan flera rötter i nämnaren.

Historik

Ostrogradsky-metoden är uppkallad efter M.V. Ostrogradsky , som först föreslog den den 22 november 1844 vid ett möte med Fysik- och matematikavdelningen vid Vetenskapsakademien [1] , publicerad följande år på franska [2] , artikeln översattes till ryska 1958. [ en]

Beskrivning av metoden

Vilken integral som helst av en rationell funktion kan representeras som

\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)))+\int {\ frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx

Här är produkten av alla irreducerbara faktorer i polynomet utan att ta hänsyn till multipliciteten (det vill säga varje irreducerbar faktor i polynomet förekommer en gång i sönderdelningen av polynomet), är produkten av alla irreducerbara faktorer i polynomet med reducerad multiplicitet med 1 (varje irreducerbar faktor i multiplicitetspolynomet inträffar vid sönderdelningen av polynomtiden ). Bråket är korrekt. Denna formel kallas Ostrogradsky-formeln . här är den algebraiska (rationella) delen av integralen av den rationella funktionen , och är den transcendentala delen . $Q_{2}(x)$ $Q(x)$ $Q(x)$ $Q_{2}(x)$ $Q_{1}(x)$ $Q(x)$ $Q(x)$ $n$ $Q_{1}(x)$ $n-1$ ${\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)))$ ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)))$ $\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx$ $\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx$

Kärnan i metoden är som följer. Vi skriver polynom och med obestämda koefficienter: $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

{\displaystyle P_{1}(x)=A_{s}x^{s}+\ldots +A_{1}x+A_{0))

P_{2}(x)=B_{r}x^{r}+\ldots +B_{1}x+B_{0}

Graderna av polynom kan få reda på senare, eller så kan du ta det säkert i förväg. Låt vidare . Bråket under integralen ska visa sig vara korrekt, så graden kan tas som . Om den ursprungliga bråkdelen var korrekt så är den korrekt och du kan ta graden som . Om det är felaktigt, välj sedan heltalsdelen och reducera bråkdelen till rätt (eller ta en grad så att graderna för heltalsdelarna till vänster och höger sammanfaller). $\operatörsnamn {deg} {P}=n,\ \operatörsnamn {deg} {Q}=m,\ \operatörsnamn {deg} {Q_{2}}=p,\ \operatörsnamn {deg} {Q_{ 1}}=mp$ $P_2$ $p-1$ ${\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ $P_1$ $mp-1$

Nu kan vi hitta koefficienterna för dessa polynom med metoden med obestämda koefficienter. Låt oss skilja på denna jämlikhet.

{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P_{1}'(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1 }'(x)}{Q_{1}^{2}(x)}}+{\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)))

Multiplicera båda sidor med . $Q(x)$

P(x)={\frac {P_{1}'(x)Q(x)}{Q_{1}(x)))-{\frac {P_{1}(x)Q_{1 }'(x)Q(x)}{Q_{1}^{2}(x)))+{\frac {P_{2}(x)Q(x)}{Q_{2}(x)} }=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1} (x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)

Båda sidorna av likheten innehåller polynom. här finns också ett polynom, eftersom det är delbart med . Vi sätter likhetstecken mellan koefficienterna vid lika potenser och får ett system av linjära algebraiska ekvationer . När vi löser det får vi som ett resultat koefficienterna för polynom och . $P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)))$ $Q_{1}'(x)Q_{2}(x)$ $Q_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

Som ett resultat presenterade vi den ursprungliga integralen i formuläret . Problemet reducerades till att integrera en bråkdel utan flera irreducerbara faktorer i nämnaren. ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x))) dx$

Formeln låter dig välja graderna för polynom och . Om vi likställer makten för alla termer, då får vi och . $P(x)=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x) }{Q_{1}(x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$ $s=n-p+1$ $r=n+pm$

Ostrogradskys metod tillåter att man omedelbart erhåller den algebraiska delen av integralen av en rationell funktion. Dessutom, för detta är det inte ens nödvändigt att beräkna nedbrytningen till irreducerbara. Verkligen, , . GCD för polynom kan beräknas med den euklidiska algoritmen . Således kan den algebraiska delen av integralen av en rationell funktion hittas med Ostrogradsky-metoden med endast algebraiska operationer. $Q(x)$ $Q_{1}(x)={\text{gcd))(Q,Q')$ $Q_{2}(x)={\frac {Q}({\text{gcd}}(Q,Q')}}$

Bevis

Beviset för att Ostrogradsky-formeln kan skrivas för vilken rationell fraktion som helst erhålls omedelbart från den allmänna formen av integralen.

Låt oss skriva ner den allmänna formen av integralen av en rationell funktion.

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\summa _{i=1}^{l}{A_{i}\ln {|x-x_{i }|}}+\summa _{i=1}^{n}\left({B_{i}\ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i} \operatörsnamn {arctg} {\frac {x+r_{i}}{h}}}\right)

${\displaystyle x+r_{i))$ här är ett linjärt binomial som erhålls genom att välja hela kvadraten från , d.v.s. Låt oss ta logaritmerna och arctangenserna under integralen. $x^{2}+p_{i}x+q_{i}$ ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h^{2))$

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\int \left(\summa _{i=1}^{l}{\frac {A_{i}} {x-x_{i}}}+\summa _{i=1}^{n}\left({\frac {B_{i}(2x+p_{i})+C_{i}h}{x ^{2}+p_{i}x+q_{i}}}\right)\right)\,dx

Den resulterande formeln är Ostrogradskys formel. Bråket under integralen är korrekt eftersom det är summan av egentliga bråk.

Anteckningar

↑ 1 2 M. V. Ostrogradsky. Utvalda verk / Ed. V. I. Smirnova . - L . : Förlag för USSR:s vetenskapsakademi, 1958. - S. 471 . - ( Vetenskapens klassiker ). - 3000 exemplar.
↑ M. Ostrogradsky. De l'integration des fraktions rationelles . — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Academie impériale des sciences de Saint-Petersbourg. - 1845. - Vol. IV. — Överste. 145-167, 286-300.