Metod för att långsamt variera amplituder

Metoden för att långsamt variera amplituder ( MMMA , ibland Van der Pol-metoden ) [1] används för den ungefärliga lösningen av olinjära ekvationer som är nära linjära, och svängningarna är nära harmoniska [2] . Metoden bygger på antagandet att amplituden (enveloppen) hos vågen ändras långsamt i tid och rum jämfört med vågperioden.

Metoden används till exempel inom radiofysik [3] , olinjär optik [4] [5] [6] .

Exempel

Tänk på den elektromagnetiska vågekvationen :

\nabla ^{2}E-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2))}= 0,

där k 0 och ω 0 är vågvektorn och vågens vinkelfrekvens E ( r , t ), och använd följande representation:

E(\mathbf {r} ,t)=\Re \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i\,(\mathbf {k} _{0} \,\cdot \,\mathbf {r} -\omega _{0}\,t)}\right],

där betecknar den verkliga delen. $\scriptstyle \Re [\cdot ]$

I den långsamt varierande amplitudapproximationen antas den komplexa amplituden E 0 ( r , t ) variera långsamt med r och t . Den antar också att E 0 ( r , t ) representerar en våg som fortplantar sig framåt i riktningen ko . Som ett resultat av den långsamma förändringen i E 0 ( r , t ), kan högordningsderivat försummas: [7]

\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot \nabla E_{0}\right|

och ,

\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,

k_{0}=|\mathbf {k} _{0}|.

Efter att ha tillämpat approximationen och nollställt de högre derivatorna kommer vågekvationen att skrivas som:

2\,i\,\mathbf {k} _{0}\,\cdot \nabla E_{0}+2\,i\,\omega _{0}\,\mu _{0}\ ,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\ ,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\right)\,E_{0}=0.

Med hänsyn till det faktum att k 0 och ω 0 uppfyller dispersionsrelationen :

k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}=0.\,

vi får:

\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\ partiell E_{0}}{\partial t}}=0.

Detta är en hyperbolisk ekvation , som den ursprungliga vågekvationen, men nu av första snarare än andra ordningen. Det är sant för koherenta vågor som utbreder sig i riktningar nära k 0 . Ofta är en sådan ekvation mycket lättare att lösa än den ursprungliga.

Parabolisk approximation

Överväg utbredning längs z- riktningen , det vill säga k 0 || z .Då gäller metoden endast för derivator med avseende på z -koordinaten och med avseende på tid. Om är Laplace-operatorn i x - y-planet får vi som ett resultat: ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{\perp }=\partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2))$

k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0.

Detta är en parabolisk ekvation , så approximationen kallas också den paraboliska approximationen [8] .

Se även

Länkar

↑ Balth. van der Pol Jun. D. Sc. (1927) VII. Forcerade svängningar i en krets med icke-linjärt motstånd. (Reception med reaktiv triod), The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3:13, 65-80
↑ Papaleksi N D, Andronov A A, Gorelik G S, Rytov S M "En del forskning inom området för olinjära svängningar utförd i Sovjetunionen sedan 1935" 33 335-352 (1947)
↑ Andreev V.S. Teori om icke-linjära elektriska kretsar: Lärobok för universitet. - M .: Radio och kommunikation, 1982. - 280 sid.
↑ Arecchi, F.T. & Bonifacio, R. IEEE J. Quantum Electron. 1, 169-178 (1965).
↑ Sizmin D.V. "Icke-linjär optik", Sarov: SarFTI, 2015. - 147 s.
↑ RW Boyd (2008). Icke-linjär optik (tredje upplagan). Orlando: Academic Press.
↑ Butcher, Paul N. Elementen av olinjär optik / Paul N. Butcher, David Cotter. — Omtryck. - Cambridge University Press , 1991. - S. 216. - ISBN 0-521-42424-0 .
↑ Svelto, Orazio. Självfokusering, självfångande och självfasmodulering av laserstrålar // Progress in Optics . - North Holland , 1974. - Vol. 12. - S. 23–25. - ISBN 0-444-10571-9 .