Flervärdig analytisk funktion

En analytisk funktion med flera värden är en komplex funktion med flera värden som erhålls genom analytisk fortsättning längs alla vägar.

Ett analytiskt element är ett par , där ( för funktioner av flera variabler) är en domän i , och en envärdig analytisk funktion i denna domän. $(F,f)$ $F\subset {\widehat {\mathbb {C} }}$ $F\subset \mathbb {C} ^{n}$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$ $f$

Två analytiska element och kallas direkt analytisk fortsättning av varandra genom domänen om skärningspunkten är icke-tom och på en av de anslutna komponenterna i skärningspunkten av funktionen och är lika. $(F,f)$ $(G,g)$ $\Delta$ $F\cap G$ $\Delta \subset F\cap G$ $f$ $g$

Ett analytiskt element kallas en analytisk fortsättning av ett element genom en kedja av domäner om det finns en sådan kedja av element att varje element är en direkt analytisk fortsättning av elementet genom en domän . $(F_{n},f_{n})$ $(F_{0},f_{0})$ ${\displaystyle \Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n))$ $(F_{1},f_{1}),\ldots ,(F_{n-1},f_{n-1})$ $(F_{i},f_{i})$ $(F_{i-1},f_{i-1})$ $\Delta _{i}$

En ekvivalensrelation kan definieras mellan element utifrån konceptet analytisk fortsättning. Vi kommer att betrakta ett element som motsvarar ett element om är en analytisk fortsättning på . Det är lätt att bevisa att detta förhållande är ett ekvivalensförhållande. Enligt denna ekvivalensrelation kan mängden av alla analytiska element delas in i ekvivalensklasser. Samma ekvivalensklasser kallas kompletta analytiska funktioner. Låt oss skriva en rigorös definition. $(F,f)$ $(G,g)$ $(G,g)$ $(F,f)$

En komplett analytisk funktion för en komplex variabel är en icke-tom uppsättning analytiska element så att för alla analytiska element från uppsättningen är alla andra dess analytiska fortsättning och alla element som är en analytisk fortsättning ingår i denna uppsättning. $(F,f)$ $(F,f)$

Analyticitet kan definieras inom något område. En analytisk funktion $A$ i en domän är en uppsättning analytiska element som: $(F_{\alpha },f_{\alpha })$

Allt $F_{\alpha }\subset A$
$\bigcup _{\alpha }F_{\alpha }=A$
För alla element är alla andra element en analytisk fortsättning genom en kedja av regioner som ligger i $(F,f)$ $(G,g)$ $(F,f)$ $A$
För varje element ingår alla andra element , som är en analytisk fortsättning genom en kedja av regioner som ligger i , i uppsättningen $(F,f)$ $(G,g)$ $(F,f)$ $A$

Ett element som ingår i denna uppsättning kallas ett element i en analytisk funktion. Denna definition identifieras med en funktion med flera värden i följande betydelse. Värdet av en analytisk funktion vid en punkt är värdet av alla funktioner hos element vid denna punkt för vilken punkten ingår i motsvarande mängd. $a$ $a$