Överbyggnad (dynamiska system)

Ett tillägg i teorin om dynamiska system är ett speciellt konstruerat vektorfält vars dynamik modellerar dynamiken i iterationer av en given diffeomorfism av en mångfald . Proceduren för att konstruera överbyggnaden är i viss mening motsatsen till att ta Poincaré-kartan på ett tvärsnitt mot flödet, och i en viss mening motiverar det icke-strikta uttalandet "effekterna som observeras för avbildningar i dimensionen observeras för flöden i dimensionen " . En generalisering av begreppet tillägg är en speciell tråd - i det här fallet anses returtiden vara icke-konstant. $F:M\to M$ $M$ $k$ $k+1$

Definition

En överbyggnad över en diffeomorfism av ett grenrör är ett flöde som ges av ett vektorfält på grenröret $F:M\to M$ $M$ $\partial /\partial t$

{\tilde {M}}=\{(x,t)|x\in M,t\in [0,1]\}/((x,1)\sim (F(x),0 ))

Med andra ord är ett flödesgrenrör en produkt vars övre och nedre gränser identifieras av kartläggningen och vars vektorfält helt enkelt är "vertikalt". Således motsvarar kartläggningen av succession över tiden längs detta fält iterationer längs -koordinaten. $M\ gånger [0,1]$ $F$ $n$ $n$ $F$ $x$

Detta flöde och grenrör kan också representeras som en kvot av ett grenrör med ett "vertikalt" vektorfält genom (pendling med detta fält) åtgärden för gruppen som genereras av mappningen . $M\times \mathbb {R}$ $\partial /\partial t$ $\mathbb {Z}$ $(x,t)\mapsto (F(x),t+1)$

En generalisering av överbyggnadskonceptet är ett speciellt flöde där återgångstiden till sektionen visar sig vara en funktion. Ett speciellt flöde som motsvarar en mappning och en funktion är nämligen ett flöde som ges av ett vektorfält på grenröret $M\times \{0\}$ $F$ $\varphi$ $\partial /\partial t$

{\tilde {M}}=\{(x,t)|x\in M,t\in [0,\varphi (x)]\}/((x,\varphi (x))\ sim(F(x),0)).