Konsistens

Konsistens  är en egenskap hos ett formellt system , som består i att inte härleda en motsägelse från det . Om negationen av någon mening från systemet kan bevisas i teorin, så sägs själva meningen vara vederlagsbar i den. Konsistensen i ett system gör att inget påstående kan både bevisas och samtidigt vederläggas i det. Kravet på konsekvens är ett obligatoriskt krav för vetenskaplig och i synnerhet logisk teori. Det motsägelsefulla systemet är uppenbarligen ofullkomligt: ​​tillsammans med de sanna bestämmelserna inkluderar det också falska; det både bevisar och motbevisar något på samma gång. Duns Scotus lag gäller i många system.. Under dessa förhållanden betyder bevisbarheten av en motsägelse det som blir bevisbart.

Formella system som har denna egenskap kallas konsekventa eller formellt konsekventa . Annars kallas det formella systemet inkonsekvent eller inkonsekvent .

För en bred klass av formella system vars språk innehåller ett negationstecken, motsvarar egenskapen : "det finns ingen formel så att båda är bevisbara". En klass av formler för ett givet formellt system sägs vara konsekvent om inte varje formel i detta system kan härledas från denna klass.

Ett formellt system kallas innehållskonsistent om det finns en modell där alla satser i detta system är sanna. Om ett formellt system är meningsfullt konsekvent, så är det formellt konsekvent.

För formella system baserade på den klassiska predikatkalkylen är det omvända också sant: i kraft av Gödels sats om fullständigheten av den klassiska predikatkalkylen har varje sådant konsekvent system en modell. Ett av sätten att bevisa konsistensen i ett formellt system är alltså att bygga en modell.

En annan, så kallad metamatematisk metod för att bevisa konsistens, föreslog i början av 1900-talet. Hilbert är att påståendet om konsistensen av ett visst formellt system betraktas som ett påstående om de bevis som är möjliga i detta system. En teori vars föremål är godtyckliga matematiska bevis kallas bevisteori , eller metamatematik. Ett exempel på tillämpningen av den metamatematiska metoden är Gentzens bevis på konsistensen av ett formellt aritmetiksystem.

Varje bevis på överensstämmelse använder sig av en eller annan matematisk teori, och reducerar därför bara frågan om en teoris överensstämmelse till frågan om en annans överensstämmelse. Det sägs också att den första teorin överensstämmer med den andra teorin. Av stor betydelse är Gödels andra sats , som säger att konsistensen av en formell teori som innehåller aritmetik inte kan bevisas med hjälp av teorin i fråga i sig (förutsatt att teorin verkligen är konsekvent).

Förekomsten av logisk inkonsekvens undergräver grunden för resonemang, bevis. teori, eftersom logisk inkonsekvens är akilleshäl för felaktiga resonemang och undervisning. Att etablera den logiska inkonsekvensen hos en teori eller ett koncept förstör teorin eller konceptet utan några ytterligare argument för deras misslyckande [1] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Kondakov N.I. Logical Dictionary. - M . : Nauka , 1975. - S. 385.

Litteratur