Generaliserad layout

Det generaliserade layoutschemat [ 1] [2] [3] för partiklar i celler definieras enligt följande.

Definition

Låt icke-negativa heltalsslumpvariabler ( r.v. ) , vars summa är lika med , associeras med icke-negativa heltalsoberoende r.v. följande förhållande: $\eta_1,\dots,\eta_N$ $n$ $\xi_1,\dots,\xi_N$

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\mathbb{P}\{\xi_1=k_1,\dots,\xi_N=k_N\;|\;\xi_1+\dots+ \xi_N=n\}\qquad(1)

för alla icke-negativa heltal vars summa är lika med . Då säger man att r.v. bilda ett generaliserat layoutschema (GSR). $k_1,\dots,k_N$ $n$ $\eta_1,\dots,\eta_N,\xi_1,\dots,\xi_N$

Om GSR är symmetrisk, det vill säga alla r.v. har samma fördelning, då kan sannolikheten till höger i (1) skrivas som: $\xi_k$

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{p_{k_1}\dots p_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n} p_{j_1}\dots p_{j_N}},\qquad(2)

var $p_k=\mathbb{P}\{\xi_1=k\},\quad k=0,1,2\dots$

Typer av scheman

Kanonisk layout

Det vanligaste fallet med OCP är det kanoniska tilldelningsschemat , [4] för vilket

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{b_{k_1}\dots b_{k_N)){\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n} b_{j_1}\dots b_{j_N}},\qquad(3)

där är en sekvens av icke-negativa tal så att , konvergensradien för serien är 1, och det maximala steget för stödet av sekvensen är 1. $b_0,b_1,\prickar$ $b_0>0$ $B(x)=\summa\limits_{k=0}^\infty b_kx^k$ $b_0,b_1,\prickar$

Till det kanoniska schemat genom en linjär transformation av r.v. alla scheman av formen (3) reduceras utan ovanstående begränsningar för sekvensen med endast ett villkor - en ändlig konvergensradie som inte är noll . Schema (3) är uppenbarligen ett särskilt fall av (2) och därmed (1). $\eta_1,\dots,\eta_N$ $\{b_k\}$ $B(x)$

Klassisk layout

Klassiskt placeringsschema (schema med lika sannolik placering av partiklar i celler), [2] där

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{n!}{k_1!\dots\;k_N!N^n},

reduceras inte till kanonisk, eftersom konvergensradien är lika med oändlighet. Men det är ett specialfall av (2) (och därmed (1)). $B(x)=e^x$

Applikation

Tilldelningsscheman av formen (1), (2) och (3) är ett bekvämt sätt att studera sådana slumpmässiga objekt som Galton-Watson-skogar, [5] slumpmässiga substitutioner , [3] rekursiva skogar [6] osv.

Se även

jättekomponent

Litteratur

↑ Kolchin V. F. Slumpmässiga avbildningar. — M .: Nauka, 1984.
↑ 1 2 Kolchin V. F., Sevastyanov B. A., Chistyakov V. P. Slumpmässiga placeringar. — M .: Nauka, 1976.
↑ 1 2 Kolchin V. F. Slumpmässiga grafer. — M .: Fizmatlit, 2000.
↑ Kazimirov N. I. Galton-Watson-skogar och slumpmässiga ersättningar . - Dis. för en lärlingsutbildning steg. cand. f.-m.s. - Petrozavodsk, 2003. - 127 sid. (inte tillgänglig länk)
↑ Pavlov Yu. L. Slumpmässiga skogar. — Utrecht, V.S.P. — 2000.
↑ Pavlov Yu. L., Loseva E. A. Begränsa fördelningarna av den maximala storleken på ett träd i en slumpmässig rekursiv skog // Diskret matematik. - 2002. - T. 14 , nr 1 . - S. 60-74 .